Cho \({\rm{a}} > 0;{\rm{b}} > 0\). Chứng minh rằng \(:\frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}} + \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} \ge 2\).

Xét hiệu \(\left( {{{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2}} \right) - 2{\rm{ab}} = {({\rm{a}} - {\rm{b}})^2} \ge 0\). Vậy \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\) ).

Ta có \(a > b > 0\) nên \(ab > 0\), do đó \(\frac{1}{{ab}} > 0\).

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \({\rm{a}} > {\rm{b}}\) với số dương \(\frac{1}{{{\rm{ab}}}}\) ta được : a. \(\frac{1}{{ab}} > b \cdot \frac{1}{{ab}}\) hay \(\frac{1}{b} > \frac{1}{a}\). Do đó \(\frac{1}{{\rm{a}}} < \frac{1}{{\;{\rm{b}}}}\).