Cho biểu thức \(P = \frac{2}{{\sqrt {xy} }}:{\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt y }}} \right)^2} - \frac{{x + y}}{{x - 2\sqrt {xy} + y}}\). Chứng minh rằng với mọi giá trị của \({\rm{x}}\) và \({\rm{y}}\) làm cho biểu thức \({\rm{P}}\) có nghĩa thì giá trị của \({\rm{P}}\) không phụ thuộc vào \({\rm{x}}\) và \({\rm{y}}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 13 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Ôn tập cuối chương 3 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Điều kiện : \(x,y > 0;x \ne y\). Khi đó ta có

\(P = \frac{2}{{\sqrt {xy} }}:{\left( {\frac{{\sqrt y - \sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}} \right)^2} - \frac{{x + y}}{{{{(\sqrt x - \sqrt y )}^2}}}\)\( = \frac{2}{{\sqrt {xy} }} \cdot \frac{{{{(\sqrt {xy} )}^2}}}{{{{(\sqrt x - \sqrt y )}^2}}} - \frac{{x + y}}{{{{(\sqrt x - \sqrt y )}^2}}}\)

\( = \frac{{2\sqrt {xy} }}{{{{(\sqrt x - \sqrt y )}^2}}} - \frac{{x + y}}{{{{(\sqrt x - \sqrt y )}^2}}}\frac{{ - \left( {x - 2\sqrt {xy} + y} \right)}}{{{{(\sqrt x - \sqrt y )}^2}}} = - \frac{{{{(\sqrt x - \sqrt y )}^2}}}{{{{(\sqrt x - \sqrt y )}^2}}} = - 1\)

Vậy giá trị của của \(P\) không phụ thuợc vào \(x\) và \(y\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x + 3}}{{x - 9}} + \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\).
a) Rút gọn \(P\). b) Chứng minh rằng \({\rm{P}} > \frac{1}{3}\).

Xem đáp án

Lời giải

a) Điều kiện : \(x > 0;x \ne 9\). Khi đó ta có

\(P = \frac{{x + 3 + \sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}\)
b) Xét hiệu\(P - \frac{1}{3} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}} - \frac{1}{3} = \frac{{3\sqrt x + 3 - \sqrt x - 3}}{{3\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{2\sqrt x }}{{3\left( {\sqrt x + 3} \right)}} > 0({\rm{\;v\`i \;}}x > 0){\rm{.\;}}\)

Do đó \({\rm{P}} > \frac{1}{3}\).

Câu 2

Rút gọn các biểu thức :
a) \(\frac{{3 + 3\sqrt 5 - \sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{6 + 2\sqrt 5 }}\); b) \(\frac{{x\sqrt x + x\sqrt y - y\sqrt x - y\sqrt y }}{{x - y + y\sqrt x - y\sqrt y }}\).

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có \(\frac{{3 + 3\sqrt 5 - \sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{6 + 2\sqrt 5 }} = \frac{{3\left( {1 + \sqrt 5 } \right) - \sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 5 } \right)}}{{{{(1 + \sqrt 5 )}^2}}} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}}{{{{(1 + \sqrt 5 )}^2}}} = \frac{{3 - \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 5 }}.\)
b) \(\frac{{x\sqrt x + x\sqrt y - y\sqrt x - y\sqrt y }}{{x - y + y\sqrt x - y\sqrt y }} = \frac{{x\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) - y\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) + y\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x - y} \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y + y} \right)}}\)

\( = \frac{{{{(\sqrt x + \sqrt y )}^2}\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y + y} \right)}} = \frac{{{{(\sqrt x + \sqrt y )}^2}}}{{\sqrt x + \sqrt y + y}}\). Điều kiện \(x \ge 0;y \ge 0;x \ne y\).

Câu 3