Cho biểu thức \({\rm{P}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} }}{{{\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}} }}:\left( {\frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} }} + \frac{{\sqrt {\rm{x}} }}{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}} \right)\).
a) Rút gọn \(P\). b) Tìm giá trị lớn nhất của \(P\).

Câu hỏi trong đề: 13 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Ôn tập cuối chương 3 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Điều kiện : \(x > 0\). Khi đó ta có \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 1 + x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\)

Ta có \(:P = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{1}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}}\).
Xét biểu thức ở mẫu \(\sqrt {\rm{x}} + \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} }} + 1 \ge 2\sqrt {\sqrt {\rm{x}} \cdot \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} }}} + 1 = 3\).
Ta có \(P = \frac{1}{{\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + 1}} \le \frac{1}{3}\).

Do đó max \(P = \frac{1}{3}\), đạt được khi \(\sqrt {\rm{x}} = \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} }} \Leftrightarrow {\rm{x}} = 1\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Rút gọn các biểu thức :
a) \(\frac{{3 + 3\sqrt 5 - \sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{6 + 2\sqrt 5 }}\); b) \(\frac{{x\sqrt x + x\sqrt y - y\sqrt x - y\sqrt y }}{{x - y + y\sqrt x - y\sqrt y }}\).

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có \(\frac{{3 + 3\sqrt 5 - \sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{6 + 2\sqrt 5 }} = \frac{{3\left( {1 + \sqrt 5 } \right) - \sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 5 } \right)}}{{{{(1 + \sqrt 5 )}^2}}} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}}{{{{(1 + \sqrt 5 )}^2}}} = \frac{{3 - \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 5 }}.\)
b) \(\frac{{x\sqrt x + x\sqrt y - y\sqrt x - y\sqrt y }}{{x - y + y\sqrt x - y\sqrt y }} = \frac{{x\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) - y\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) + y\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x - y} \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y + y} \right)}}\)

\( = \frac{{{{(\sqrt x + \sqrt y )}^2}\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y + y} \right)}} = \frac{{{{(\sqrt x + \sqrt y )}^2}}}{{\sqrt x + \sqrt y + y}}\). Điều kiện \(x \ge 0;y \ge 0;x \ne y\).

Câu 2

Cho biểu thức \(P = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{3 - 11\sqrt x }}{{9 - x}}\).
a) Rút gọn \(P\). b) Tính giá trị của \(P\) với \(x = \frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{4}\).

Xem đáp án

Lời giải

a) Điều kiện : \(x \ge 0;x \ne 9\). Khi đó ta có

\(P = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) - 3 + 11\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{2x - 6\sqrt x + x + 4\sqrt x + 3 - 3 + 11\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{3x + 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)

b) Ta có \(x = \frac{{7 + 4\sqrt 3 }}{4} = {\left( {\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}} \right)^2} \Rightarrow \sqrt x = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}\).
Do đó \({\rm{P}} = \frac{{3 \cdot \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{2 + \sqrt 3 }}{2} - 3}} = \frac{{6 + 3\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 - 4}}\)\( = \frac{{6 + 3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 4}} = \frac{{\left( {6 + 3\sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 4} \right)\left( {\sqrt 3 + 4} \right)}}\; = \frac{{6\sqrt 3 + 24 + 9 + 12\sqrt 3 }}{{3 - 16}} = \frac{{ - \left( {33 + 18\sqrt 3 } \right)}}{{13}}\begin{array}{*{20}{r}}{}&\;\\{}&.\end{array}\)

Câu 3