Trong hình vẽ, mặt cắt của Trái Đất có thể xem là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 6\,400km\). Từ điểm \(A\) nằm ở độ cao \(h\) so với mực nước biển, một người có thể thấy xa nhất đến điểm \(B\) trên \(\left( O \right)\) sao cho \(AB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\). Khoảng cách \(AB\) khi đó được gọi là tầm nhìn xa từ điểm \(A\). Tính \(AB\) nếu \(h = 20m\).

Xem hình vẽ.

Ta có \(MA = MB\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(MA\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow MA \bot OA\) hay tam giác \(OAM\) vuông tại \(A\).

Theo định lí Pythagore, ta có:

\(M{O^2} = M{A^2} + O{A^2} \Rightarrow M{A^2} = M{O^2} - O{A^2} = {35^2} - {15^2}\)

\( \Rightarrow MA = \sqrt {{{35}^2} - {{15}^2}}  \approx 31,6\left( {cm} \right)\)

Vậy \(MA = MB \approx 31,6cm\).

Tam giác vuông \(OAM\) có cạnh huyên \(MO = 35cm\), cạnh góc vuông \(OA = 15cm.\)

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(OA = OM.\sin \widehat {AMO}\)

\( \Rightarrow \sin \widehat {AMO} = \frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{15}}{{35}} \Rightarrow \widehat {AMO} = 25^\circ 23'.\)

Vì \(MO\)là tia phân giác của góc \(AMB\)

\( \Rightarrow AMB = 2.25^\circ 23' = 50^\circ 46'\)

Xét tứ giác \(MAOB\), ta có:

\(\widehat {AOB} = {360^0} - \left( {\widehat {MAO} + \widehat {MBO} + \widehat {AMB}} \right)\)

\(\widehat {AOB} = 360^\circ  - \left( {90^\circ  + 90^\circ  + 50^\circ 46'} \right) = 129^\circ 32'\)

Ta có \(OA = OB = R;MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên \(MO\) là đường trung trực của đoạn \(AB\).

Gọi \(I\) là giao điểm của \(MO\) và \(AB\), ta có \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB\) hay \(IA = IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{730}}{2} = 365\left( m \right)\).

Xét tứ giác \(AOBM\) có:

\(\widehat {AOB} = 360^\circ  - \left( {\widehat {OBM} + \widehat {AMB} + \widehat {OAM}} \right)\)

\( = 360^\circ  - \left( {90^\circ  + 105^\circ  + 90^\circ } \right) = 75^\circ \)

Lại có \(MO\) là tia phân giác của góc \(AOB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

\( \Rightarrow \widehat {AOI} = \widehat {BOI} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2} = \frac{{75^\circ }}{2} = 37,5^\circ \)

Vì \(MO\) là đường trung trực của \(AB\)(cmt) \( \Rightarrow MO \bot AB\) tại \(I\).

Xét tam giác \(AOI\) vuông tại \(I\) có cạnh góc vuông \(IA = 365\left( m \right)\), góc nhọn \(\widehat {AOI} = 37,5^\circ \).

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(IA = OA.\sin \widehat {AOI}\)

\( \Rightarrow OA = \frac{{IA}}{{\sin \widehat {AOI}}} = \frac{{365}}{{\sin 37,5^\circ }} \approx 599\left( m \right)\)

Vậy bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) là \(599m\).