Cho đường tròn \(\left( {O;{\rm{ }}12{\rm{ cm}}} \right)\), dây \(AB\) vuông góc với bán kính \(OC\) tại trung điểm \(M\) của \(OC\). Dây \(AB\) có độ dài bao nhiêu centimet? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Đáp án: 26,5

Tam giác \[OAB\] cân tại \[O\] (do \[OA = OB = R)\] có \[OH\] là đường cao nên \[OH\] cũng là đường trung tuyến của tam giác. Do đó \[H\] là trung điểm \[AB.\]

Vì vậy \[HA = HB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Chứng minh tương tự, ta được \[KC = KD = \frac{{CD}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Ta có \[KC = KM + MC.\] Suy ra \[KM = KC - MC = 6 - 2 = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Tứ giác \[OHMK\] có: \[\widehat {OKM} = \widehat {KMH} = \widehat {OHM} = 90^\circ \] nên tứ giác \[OHMK\] là hình chữ nhật.

Do đó \[OH = KM = 4{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \[OHB\] vuông tại \[H,\] ta được:

\[O{B^2} = O{H^2} + H{B^2} = {4^2} + {8^2} = 80\]. Suy ra \[R = OB = 4\sqrt 5 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \[OKD\] vuông tại \[K,\] ta được: \[O{D^2} = O{K^2} + K{D^2}.\]

Suy ra \[O{K^2} = O{D^2} - K{D^2} = {R^2} - K{D^2} = {\left( {4\sqrt 5 } \right)^2} - {6^2} = 44\]

Do đó \[OK = 2\sqrt {11} {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Vậy diện tích hình chữ nhật \[OHMK\] là: \[S = KM \cdot OK = 4 \cdot 2\sqrt {11} = 8\sqrt {11} {\rm{\;}} \approx {\rm{26}}{\rm{,5}}\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

a) Đúng.

Xét \[\Delta HOC\] vuông tại \[H\] có: \[OH = \sqrt {O{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {{{6,5}^2} - {6^2}} = 2,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

b) Sai.

Do đó, \[AH = 6,5 - 2,5 = 4\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\]; \[BH = 6,5 + 2,5 = 9\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Do đó, \[BH - AH = 9 - 4 = 5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

c) Đúng.

Chứng minh được (g.g); (g.g)

Suy ra .

Do đó, \[\frac{{{S_{CHN}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\frac{{CH}}{{AB}}} \right)^2} = \frac{{{6^2}}}{{{{13}^2}}} = \frac{{36}}{{169}}\].

Suy ra \[{S_{CHN}} = \frac{{36}}{{169}}{S_{ABC}} = \frac{{36}}{{169}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = \frac{{108}}{{13}}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\].

d) Sai.

Có \[{S_{CNHM}} = 2{S_{CHN}} = 2 \cdot \frac{{108}}{{13}} = \frac{{216}}{{13}} < \frac{{221}}{{13}} = 17\].

Do đó, \[{S_{CMHN}} < 17\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\].