Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] có hai dây \[AB,CD\] vuông góc với nhau tại \[M.\] Giả sử \[AB = 16{\rm{\;cm}},CD = 12{\rm{\;cm}},MC = 2{\rm{\;cm}}.\] Kẻ \[OH \bot AB\] tại \[H,\] \[OK \bot CD\] tại \[K.\] Khi đó diện tích tứ giác \[OHMK\] bằng bao nhiêu? (Đơn vị: cm², kết quả làm tròn đến hàng phần mưới)

Đáp án: 20,8

Ta có: \(M\) là trung điểm của \(OC\) nên \(OM = \frac{{OC}}{2} = 6\)cm.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \(MOA\) vuông tại \(M,\) ta có: \(M{O^2} + M{A^2} = O{A^2}\)

Suy ra \(M{A^2} = O{A^2} - O{M^2} = {12^2} - {6^2} = 108\)

Do đó \(MA = 6\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.\)

Xét \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) (do \(OA = OB)\) có \(OM\) là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó \(M\) là trung điểm của \(AB.\) Khi đó, ta có \(AB = 2MA = 2 \cdot 6\sqrt 3 = 12\sqrt 3 \approx {\rm{20}}{\rm{,8 }}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\)

a) Đúng.

Xét \[\Delta HOC\] vuông tại \[H\] có: \[OH = \sqrt {O{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {{{6,5}^2} - {6^2}} = 2,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

b) Sai.

Do đó, \[AH = 6,5 - 2,5 = 4\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\]; \[BH = 6,5 + 2,5 = 9\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Do đó, \[BH - AH = 9 - 4 = 5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

c) Đúng.

Chứng minh được (g.g); (g.g)

Suy ra .

Do đó, \[\frac{{{S_{CHN}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\frac{{CH}}{{AB}}} \right)^2} = \frac{{{6^2}}}{{{{13}^2}}} = \frac{{36}}{{169}}\].

Suy ra \[{S_{CHN}} = \frac{{36}}{{169}}{S_{ABC}} = \frac{{36}}{{169}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = \frac{{108}}{{13}}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\].

d) Sai.

Có \[{S_{CNHM}} = 2{S_{CHN}} = 2 \cdot \frac{{108}}{{13}} = \frac{{216}}{{13}} < \frac{{221}}{{13}} = 17\].

Do đó, \[{S_{CMHN}} < 17\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\].