Cho đường tròn \[\left( O \right)\] và \[\left( {O'} \right)\] tiếp xúc ngoài tại \[A.\] Kẻ đường kính \[AB\] của đường tròn  \[\left( O \right)\] và đường kính \[AC\] của đường tròn \[\left( {O'} \right).\] Gọi \[DE\] là tiếp tuyến của cả hai đường tròn \[\left( O \right)\] và \[\left( {O'} \right)\] với hai tiếp điểm \[D \in \left( O \right)\] và \[E \in \left( {O'} \right)\] \((DE\) không cắt đoạn \(O'O).\) Gọi \[M\] là giao điểm của \[BD\] và \[CE.\] Biết rằng \[\widehat {DOA} = 60^\circ \] và \[OA = 6{\rm{\;cm}}.\] Diện tích tứ giác \[ADME\] bằng bao nhiêu cm²? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Đáp án: 20,8

Vì \[OA = OD\] nên tam giác \[OAD\] cân tại \[O.\] Do đó \[\widehat {{A_2}} = \widehat {ODA}.\]  

Chứng minh tương tự, ta được \[\widehat {{A_1}} = \widehat {O'EA}.\]

Ta có \[DE\] là tiếp tuyến của cả hai đường tròn \[\left( O \right)\] và \[\left( {O'} \right)\] với hai tiếp điểm \[D \in \left( O \right)\] và \[E \in \left( {O'} \right)\] nên \[O'E \bot DE\] và \[OD \bot DE.\]

Xét tứ giác \(O'EDO\) ta có: \[\widehat {{{O'}_1}} + \widehat {{O_1}} = 360^\circ - \widehat {O'ED} - \widehat {ODE} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ \]

Suy ra \[\left( {180^\circ - \widehat {{A_1}} - \widehat {O'EA}} \right) + \left( {180^\circ - \widehat {{A_2}} - \widehat {ODA}} \right) = 180^\circ \]

Khi đó \[2 \cdot \widehat {{A_1}} + 2 \cdot \widehat {{A_2}} = 180^\circ \]

Vì vậy \[2 \cdot \left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = 180^\circ \]

Suy ra \[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 90^\circ \]

Ta có \[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {EAD} = 180^\circ \]

Suy ra \[\widehat {EAD} = 180^\circ - \left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\]

Tam giác \[CEA\] có \[EO'\] là đường trung tuyến và \[EO' = \frac{{AC}}{2}\] nên tam giác \[CEA\] vuông tại \[E.\]

Chứng minh tương tự, ta được tam giác \[ABD\] vuông tại \[D.\]

Tứ giác \[ADME\] có: \[\widehat {DAE} = \widehat {AEM} = \widehat {ADM} = 90^\circ \] nên tứ giác \[ADME\] là hình chữ nhật.

Tam giác \[OAD\] cân tại \[O\] có \[\widehat {DOA} = 60^\circ \] nên tam giác \[OAD\] là tam giác đều.

Khi đó \[AD = OD = OA = 6{\rm{\;cm}}\] và \[\widehat {ADO} = 60^\circ .\]

Vì \[\widehat {ODE} = 90^\circ \] nên \[\widehat {ODA} + \widehat {ADE} = 90^\circ \]

Suy ra \[\widehat {ADE} = 90^\circ - \widehat {ODA} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ .\]

Vì tam giác \[DAE\] vuông tại \[A\] nên \[AE = AD \cdot \tan \widehat {ADE} = 6 \cdot \tan 30^\circ = 2\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Do đó diện tích tứ giác \[ADME\] là: \[S = AE \cdot AD = 2\sqrt 3 \cdot 6 = 12\sqrt 3 \approx {\rm{20}}{\rm{,8\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]