Câu hỏi:

14/04/2026 9

Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ $5\,\,000$ bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe. Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất $6\,\,000$ bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ đi như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại đi nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bước tối thiểu mà mục tiêu đề ra hay chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hàng ngày của hai người không đổi)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi \[x,{\rm{ }}y\] (bước) lần lượt là số bước mà anh Sơn và chị Hà đi bộ trong 1 phút

\[\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}*;\,\,\,x > y} \right).\]

Trong 2 phút, anh Sơn đi được $2x$ (bước); chị Hà đi được $2y$ (bước).

Nếu đi cùng trong 2 phút thì anh Sơn đi nhiều hơn chị Hà 20 bước nên

$2 x - 2 y = 20 h a y (x - y) = 10 (1)$

Trong 3 phút anh Sơn đi được $3x$ (bước)

Trong 5 phút chị Hà đi được $5y$ (bước)

Do chị Hà đi trong 5 phút thì nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước nên

$5 y - 3 x = 160 h a y - 3 x + 5 y = 160 (2)$

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $3,$ ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x - 3y = 30\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right..$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: $2y = 190$ nên $y = 95$ (thỏa mãn).

Thay $y = 95$ vào phương trình thứ nhất của hệ ban đầu, ta được:

\[x - 95 = 10\] suy ra $x = 10 + 95 = 105$ (thỏa mãn).

Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước anh Sơn đi là $105 \cdot 60 = 6\,\,300$ (bước)

Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước chị Hà đi là $95 \cdot 60 = 5\,\,700$ (bước)

Vậy anh Sơn đạt được mục tiêu đề ra, còn chị Hà thì không đạt mục tiêu đề ra.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai biểu thức:

$A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4x}}{{x - 4}}$ và $B = \frac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}}$ với $x \ge 0, x \ne 4$.

a) Tính giá trị của biểu thức $B$ khi $x = 196$.

b) Rút gọn biểu thức $A$.

c) Xét biểu thức $P = A:B$. So sánh $P$ và $\sqrt P $.

Xem đáp án

Lời giải

a) Thay $x = 196\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)$ vào biểu thức $B$ ta được:

\[B = \frac{{4 \cdot \left( {\sqrt {196} + 2} \right)}}{{\sqrt {196} - 2}} = \frac{{4 \cdot \left( {14 + 2} \right)}}{{14 - 2}} = \frac{{4 \cdot 16}}{{12}} = \frac{{16}}{3}\].

Vậy với $x = 196$ thì giá trị của biểu thức \[B = \frac{{16}}{3}\].

b) $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4x}}{{x - 4}}$ ĐKXĐ: $x \ge 0, x \ne 4$

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{4x}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 4\sqrt x + 4 - x + 4\sqrt x - 4 + 4x}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{4\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\]

\[ = \frac{{4x + 8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\].

Vậy với $x \ge 0, x \ne 4$ thì \[A = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\].

c) Với $x \ge 0, x \ne 4,$ ta có

$P = A:B$\[ = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}}\]\[ = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} \cdot \frac{{\sqrt x - 2}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\].

Với $x \ge 0, x \ne 4$ thì \[\sqrt P \] luôn có nghĩa.

Xét hiệu: \[P - 1 = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - 1 = \frac{{\sqrt x - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt x + 2}}\].

Ta thấy: \[ - 2 < 0\]; \[\sqrt x + 2 > 0\] với $x \ge 0, x \ne 4$.

Khi đó \[\frac{{ - 2}}{{\sqrt x + 2}} < 0\] suy ra \[P - 1 < 0\] nên \[P < 1\] hay \[\sqrt P < 1\], do đó \[\sqrt P - 1 < 0\].

Mà \[\sqrt P \ge 0\] nên \[\sqrt P \left( {\sqrt P - 1} \right) \le 0\] suy ra \[P - \sqrt P \le 0\] hay \[P \le \sqrt P \].

Vậy với $x \ge 0\,, \,x \ne 4$ thì \[P \le \sqrt P \].

Câu 2

Cho đường tròn \[\left( O \right)\] và điểm \[A\] nằm bên ngoài đường tròn. Từ \[A\] kẻ hai tiếp tuyến \[AM,AN\] với đường tròn \[\left( O \right)\]. Một đường thẳng \[d\] đi qua \[A\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại hai điểm \[B\] và \[C\] (\[AB < AC\], \[d\] không đi qua tâm \[O\]). Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\]. Đường thẳng \[NI\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm thứ hai là \[F\].

a) Chứng minh bốn điểm \[A,M,O,N\] cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \[A{N^2} = AB.AC\] và \[MF\,{\rm{//}}\,AC\].

c) Hai tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[B\] và \[C\] cắt nhau tại \[K\]. Chứng minh \[K\] thuộc một đường tròn cố định khi \[d\] thay đổi.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Cho đường tròn O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM,AN với đường tròn O. Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn O (ảnh 1)

a) Vì $AM,\,\,AN$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ lần lượt tại $M,\,\,N$ nên $AM \bot OM,\,\,AN \bot ON.$

Gọi \[E\] là trung điểm của \[OA\]. Khi đó $OE = AE = \frac{1}{2}OA.$

Xét \[\Delta MOA\] vuông tại \[M\] có \[ME\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $OA$ nên \[ME = \frac{1}{2}OA\].

Xét \[\Delta NOA\] vuông tại \[N\] có \[NE\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $OA$ nên \[NE = \frac{1}{2}OA\].

Vì \[NE = ME = OE = AE = \frac{1}{2}OA\] nên bốn điểm \[A,M,O,N\] cùng thuộc đường tròn tâm \[E,\] đường kính \[OA\].

b) ⦁ Chứng minh \[A{N^2} = AB.AC\]

Xét đường tròn \[\left( O \right)\], có: \[\widehat {BCN} = \frac{1}{2}\widehat {BON}\] (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \[BN\]) (1)

Xét \[\Delta BON\] cân tại \[O\] (do \[OB = ON)\] có \[\widehat {OBN} = \widehat {ONB}\].

Do đó \[\widehat {BON} = 180^\circ - 2\widehat {ONB} = 2\left( {90^\circ - \widehat {ONB}} \right) = 2\widehat {BNA}\], suy ra \[\widehat {BNA} = \frac{1}{2}\widehat {BON}\] (2).

Từ (1) và (2), suy ra \[\widehat {BNA} = \widehat {BCN}\].

Xét \[\Delta ANB\] và \[\Delta ACN\] có: \[\widehat {CAN}\] là góc chung và \[\widehat {BNA} = \widehat {BCN}\]

Do đó, tam giác ANB đồng dạng tam giác ACN (g.g).

Suy ra \[\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AN}}\] hay \[A{N^2} = AB.AC\].

• Chứng minh \[MF\parallel AC\]

Xét \[\Delta COB\] cân tại \[O\] (do \[OC = OB\]) có \[OI\] là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, do đó \[OI \bot BC\]. Suy ra \[\Delta IOA\] vuông tại \[I\].

Xét \[\Delta IOA\] vuông tại \[I\] có \[IE\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $OA$ nên \[IE = \frac{1}{2}OA\].

Khi đó, ta có \[NE = IE = OE = AE = \frac{1}{2}OA\] nên bốn điểm \[A,I,O,N\] cùng thuộc đường tròn tâm \[E,\] đường kính \[OA\].

Suy ra \[\widehat {AIN} = \widehat {AON}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AN\] của đường tròn tâm \[E\]). (*)

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có \[AM,AN\] là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \[A\], suy ra \[OA\] là phân giác của \[\widehat {MON}\]

Do đó, \[\widehat {AON} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\].

Mà \[\widehat {NFM} = \frac{1}{2}\widehat {MON}\] (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \[MN\])

Suy ra \[\widehat {NFM} = \widehat {AON}\] (**)

Từ (*) và (**), suy ra \[\widehat {NFM} = \widehat {AIN}\].

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị, do đó \[MF\,{\rm{//}}\,AC\].

Cho đường tròn O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM,AN với đường tròn O. Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn O (ảnh 2)

⦁ Gọi $H$ là giao điểm của $MN$ và $OA.$

Ta có $AM = AN$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OM = ON$ nên $A,\,\,O$ cùng nằm trên đường trung trực của $MN$ hay $OA$ là đường trung trực của $MN$.

Suy ra \[MN \bot OA\] hay \[HN \bot OA\].

Xét \[\Delta OHN\] và \[\Delta ONA\], có: \[\widehat {OHN} = \widehat {ONA} = 90^\circ \] và \[\widehat {AON}\] là góc chung

Do đó tam giác OHN đồng dạng tam giác ONA (g.g)

Suy ra \[\frac{{OH}}{{ON}} = \frac{{ON}}{{OA}}\] suy ra \[OH.OA = O{N^2} = {R^2}\] (3).

⦁ Ta có $OC = OB,\,\,IC = IB$ (do $I$ là trung điểm của $BC),$ $KC = KB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên ba điểm $O,\,\,I,\,\,K$ thẳng hàng.

Xét \[\Delta OIB\] và \[\Delta OBK\], có: \[\widehat {OIB} = \widehat {OBK} = 90^\circ \] và \[\widehat {BOK}\] là góc chung

Do đó tam giác OIB đồng dạng tam giác OBK (g.g)

Suy ra \[\frac{{OI}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OK}}\] suy ra \[OI.OK = O{B^2} = {R^2}\] (4).

Từ (3) và (4) suy ra \[OI.OK = OH.OA = {R^2}.\] Từ đó, ta có \[\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OK}}\].

Xét \[\Delta OIA\] và \[\Delta OHK\] có: \[\widehat {AOK}\] là góc chung và \[\frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OA}}{{OK}}\]

Do đó tam giác OIA đồng dạng tam giác OHK (c.g.c)

Suy ra \[\widehat {OHK} = \widehat {OIA} = 90^\circ \], suy ra \[HK \bot OA\].

Mà \[MN \bot OA\] tại \[H\] và \[MN\] cố định (do điểm $A$ cố định), do đó \[K\] thuộc \[MN\] cố định.

Câu 3