Bộ ba số nào là độ dài ba cạnh của một tam giác?

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) và tia phân giác AD của \(\widehat {HAC}\) (D thuộc BC). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho \[AE = AH.\]

(a) Chứng minh rằng: \(\Delta ADH = \Delta ADE\).

(b) Chứng minh: \[DE = DH\] và \(DE \bot AC\).

(c) Chứng minh AD là đường trung trực của HE.

(d) Trên tia đối của tia HA lấy điểm F sao cho \[HF = EC.\] Chứng minh \(\widehat {AHE} = \widehat {EHD} + \widehat {HFD}\).

Một chiếc hộp có 20 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một số trong các số \[1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\, \ldots \,;\,\,19\,;\,\,20.\] Hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp.

(a) Viết tập hợp A gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra.

(b) Xét biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia cho 2 và 3 đều có số dư là 1”. Tính xác suất của biến cố đó.

Cho hai đa thức: \(P\left( x \right) = {x^2} + x - {x^4} + 6 + 3{x^3}\)        

\(Q\left( x \right) = 2{x^3} - 2{x^4} + {x^5} - 2x\)    

(a) Sắp xếp các đa thức \(P\left( x \right)\) và \(Q\left( x \right)\) theo luỹ thừa giảm dần của biến.

(b) Tính \[P\left( x \right) + Q\left( x \right)\,;{\rm{ }}P\left( x \right)-Q\left( x \right)\].

(c) Chứng tỏ \[x = 0\] không là nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\) nhưng là nghiệm của đa thức \(Q\left( x \right)\).

Hưởng ứng phong trào kế hoạch nhỏ của Liên đội, ba Chi đội 7A, 7B, 7C đã thu được tổng cộng 120 kg giấy vụn. Biết rằng số giấy vụn thu được của ba Chi đội lần lượt tỉ lệ với 9; 7; 8. Hãy tính số giấy vụn mỗi Chi đội thu được.

Cho \({3^x} = {9^{y - 1}}\) và \({8^y} - {2^{x + 8}} = 0\). Chứng minh rằng: \(\frac{x}{y} = \frac{5}{3}\).