Ngày nay, để giúp xác định nhanh hàng thật hay giả một chiếc đồng hồ Rolex, ta dựa vào tốc độ góc thay đổi giữa các kim của đồng hồ (rad/phút). Chiếc đồng hồ Rolex được thẩm định có kích thước chuẩn (loại cho nam) ở kim giờ và kim phút lần lượt là 10 mm và 15 mm. Biết rằng góc giữa hai kim là hàm \(\theta \left( t \right)\)với \(t\)là số phút sau 12 giờ chiều (tức thời điểm hai kim trùng nhau chỉ vào số 12). Xét tam giác \(OAB\) tạo bởi tâm đồng hồ \(O\), đầu kim giờ \(A\) và đầu kim phút \(B\). Những phương án nào dưới đây đúng?    

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {5; - 20; - 4} \right),\overrightarrow {DC}  = \left( {5; - 20; - 4} \right)\), \(\overrightarrow {AD}  = \left( { - 30; - 15; - 3} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \) nên \(ABCD\)là hình bình hành.

Có \(AB = 21;AD = 9\sqrt {14} \).

Có \(\cos \widehat {BAD} = \frac{{\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AD} } \right|}} = \frac{{162}}{{21 \cdot 9\sqrt {14} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }}\).

Do đó \(\sin \widehat {BAD} = \frac{{5\sqrt {26} }}{{7\sqrt {14} }}\).

Diện tích bề mặt của khung hình tứ giác mà các Drone tạo ra trên không trung chính là diện tích hình bình hành \(ABCD\).

Có \({S_{ABCD}} = AB \cdot AD \cdot \sin \widehat {BAD} = 21 \cdot 9\sqrt {14}  \cdot \frac{{5\sqrt {26} }}{{7\sqrt {14} }} \approx 688\;{m^2}\).

Đáp án cần nhập là: 688.

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{2}\) đi qua điểm \(A\left( {1;1;4} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\).

Vì \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}A \in \left( P \right)\\\overrightarrow n  \cdot \overrightarrow u  = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + 4c + 9 = 0\\2a - b + 2c = 0\end{array} \right.\) (1).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;0;0} \right),R = 3\) mà mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) nên

\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| 9 \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 3\)\( \Leftrightarrow 9 = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + 4c + 9 = 0\\2a - b + 2c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3 - 2c\\b =  - 6 - 2c\\{\left( { - 3 - 2c} \right)^2} + {\left( { - 6 - 2c} \right)^2} + {c^2} = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3 - 2c\\b =  - 6 - 2c\\9{c^2} + 36c + 36 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c =  - 2\end{array} \right.\). Vậy \(a + b + c =  - 3\).

Đáp án cần nhập là: −3.