Một câu lạc bộ tổ chức trò chơi quay số may mắn. Họ chuẩn bị 40 lá thăm có kích thước như nhau và được đánh số từ 1 đến 40 (mỗi lá thăm ghi một số nguyên dương, hai lá thăm khác nhau ghi hai số khác nhau). Một người chơi lần lượt bốc hai lá thăm (bốc không hoàn lại). Tính xác suất để lần thứ hai người chơi bốc được lá thăm ghi số nguyên tố.

Đáp án: ____

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{2}\) đi qua điểm \(A\left( {1;1;4} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\).

Vì \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}A \in \left( P \right)\\\overrightarrow n  \cdot \overrightarrow u  = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + 4c + 9 = 0\\2a - b + 2c = 0\end{array} \right.\) (1).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;0;0} \right),R = 3\) mà mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) nên

\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| 9 \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 3\)\( \Leftrightarrow 9 = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + 4c + 9 = 0\\2a - b + 2c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3 - 2c\\b =  - 6 - 2c\\{\left( { - 3 - 2c} \right)^2} + {\left( { - 6 - 2c} \right)^2} + {c^2} = 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3 - 2c\\b =  - 6 - 2c\\9{c^2} + 36c + 36 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c =  - 2\end{array} \right.\). Vậy \(a + b + c =  - 3\).

Đáp án cần nhập là: −3.

Giả sử \(\Delta \) cắt đường thẳng \({d_1}\) tại \(A\left( {1 + 2t;t; - 1 - t} \right)\) và cắt đường thẳng \({d_2}\) tại điểm \(B\left( {t';1 - 2t';t'} \right)\).

Khi đó ta có \(\overrightarrow {MA}  = \left( {2t - 1;t - 1; - 1 - t} \right);\overrightarrow {MB}  = \left( {t' - 2; - 2t';t'} \right)\).

Vì đường thẳng \(\Delta \) đi qua ba điểm \(M,A,B\) nên ta có \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) cùng phương.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}2t - 1 = k\left( {t' - 2} \right)\\t - 1 =  - 2kt'\\ - 1 - t = kt'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - 1 = kt' - 2k\\t - 1 =  - 2kt'\\ - 1 - t = kt'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - 1 =  - 1 - t - 2k\\t - 1 =  - 2\left( { - 1 - t} \right)\\ - 1 - t = kt'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{9}{2}\\t =  - 3\\t' = \frac{4}{9}\end{array} \right.\).

Với \(t =  - 3\) thì \(\overrightarrow {MA}  = \left( { - 7; - 4;2} \right)\).

1. Đúng. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow u  = \left( {7;4; - 2} \right)\).

2. Sai. Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2;1;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {7;4; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 7t\\y = 1 + 4t\\z =  - 2t\end{array} \right.\).

3. Đúng. Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 7t\\y = 1 + 4t\\z =  - 2t\\x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - \frac{2}{7}\\y =  - \frac{1}{7}\\z = \frac{4}{7}\\x = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0; - \frac{1}{7};\frac{4}{7}} \right)\).

4. Sai. Mặt phẳng \(x + y + z = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;1} \right)\) không cùng phương với vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nên đường thẳng \(\Delta \) không vuông góc với mặt phẳng \(x + y + z = 0\).

5. Đúng. Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng đi qua \(N\left( {1;0;1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \).

Khi đó mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có dạng \(7\left( {x - 1} \right) + 4y - 2\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 7x + 4y - 2z - 5 = 0\).

Gọi H là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Khi đó tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 7t\\y = 1 + 4t\\z =  - 2t\\7x + 4y - 2z - 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 7t\\y = 1 + 4t\\z =  - 2t\\7\left( {2 + 7t} \right) + 4\left( {1 + 4t} \right) - 2 \cdot \left( { - 2t} \right) - 5 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{47}}{{69}}\\y = \frac{{17}}{{69}}\\z = \frac{{26}}{{69}}\\t =  - \frac{{13}}{{69}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{{47}}{{69}};\frac{{17}}{{69}};\frac{{26}}{{69}}} \right)\).

Khi đó \(d\left( {N,\Delta } \right) = NH = \sqrt {{{\left( {\frac{{47}}{{69}} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{17}}{{69}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{26}}{{69}} - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{38}}{{69}}}  \approx 0,74\). Chọn ý 1, 3, 5.