Một đoàn tàu điện cao tốc đang đứng yên tại nhà ga. Ngay trước đầu tàu có một cột tín hiệu. Đoàn tàu bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng yên với gia tốc \(a = 0,004t\;\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\) và đi qua cột tín hiệu đó trong thời gian 60 giây. Sau 90 giây đoàn tàu điện chuyển sang trạng thái chuyển động đều. Sau khi chuyển động đều một thời gian, đoàn tàu điện gặp một cầu vượt có chiều dài 486 m. Đoàn tàu điện đó đi qua cầu vượt hết bao nhiêu giây? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án: _____

Giả sử \(\Delta \) cắt đường thẳng \({d_1}\) tại \(A\left( {1 + 2t;t; - 1 - t} \right)\) và cắt đường thẳng \({d_2}\) tại điểm \(B\left( {t';1 - 2t';t'} \right)\).

Khi đó ta có \(\overrightarrow {MA}  = \left( {2t - 1;t - 1; - 1 - t} \right);\overrightarrow {MB}  = \left( {t' - 2; - 2t';t'} \right)\).

Vì đường thẳng \(\Delta \) đi qua ba điểm \(M,A,B\) nên ta có \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) cùng phương.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}2t - 1 = k\left( {t' - 2} \right)\\t - 1 =  - 2kt'\\ - 1 - t = kt'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - 1 = kt' - 2k\\t - 1 =  - 2kt'\\ - 1 - t = kt'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - 1 =  - 1 - t - 2k\\t - 1 =  - 2\left( { - 1 - t} \right)\\ - 1 - t = kt'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{9}{2}\\t =  - 3\\t' = \frac{4}{9}\end{array} \right.\).

Với \(t =  - 3\) thì \(\overrightarrow {MA}  = \left( { - 7; - 4;2} \right)\).

1. Đúng. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow u  = \left( {7;4; - 2} \right)\).

2. Sai. Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2;1;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {7;4; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 7t\\y = 1 + 4t\\z =  - 2t\end{array} \right.\).

3. Đúng. Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 7t\\y = 1 + 4t\\z =  - 2t\\x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - \frac{2}{7}\\y =  - \frac{1}{7}\\z = \frac{4}{7}\\x = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0; - \frac{1}{7};\frac{4}{7}} \right)\).

4. Sai. Mặt phẳng \(x + y + z = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;1} \right)\) không cùng phương với vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nên đường thẳng \(\Delta \) không vuông góc với mặt phẳng \(x + y + z = 0\).

5. Đúng. Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng đi qua \(N\left( {1;0;1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \).

Khi đó mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có dạng \(7\left( {x - 1} \right) + 4y - 2\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 7x + 4y - 2z - 5 = 0\).

Gọi H là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Khi đó tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 7t\\y = 1 + 4t\\z =  - 2t\\7x + 4y - 2z - 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 7t\\y = 1 + 4t\\z =  - 2t\\7\left( {2 + 7t} \right) + 4\left( {1 + 4t} \right) - 2 \cdot \left( { - 2t} \right) - 5 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{47}}{{69}}\\y = \frac{{17}}{{69}}\\z = \frac{{26}}{{69}}\\t =  - \frac{{13}}{{69}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{{47}}{{69}};\frac{{17}}{{69}};\frac{{26}}{{69}}} \right)\).

Khi đó \(d\left( {N,\Delta } \right) = NH = \sqrt {{{\left( {\frac{{47}}{{69}} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{17}}{{69}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{26}}{{69}} - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{38}}{{69}}}  \approx 0,74\). Chọn ý 1, 3, 5.

Ta có \(f\left( t \right) =  - \frac{1}{{300}}{t^3} + b{t^2} + ct + 12000\).

Khi đó \(v\left( t \right) = f'\left( t \right) =  - \frac{1}{{100}}{t^2} + 2bt + c\).

Ngày 26/9/2024 ứng với \(t = 270\) là ngày có số lượng cá thể sinh vật X nhiều nhất với \(55\;740\)con nên hàm số đạt cực đại tại \(t = 270\).

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {270} \right) = 0\\f\left( {270} \right) = 55740\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{{100}} \cdot {270^2} + 540b + c = 0\\ - \frac{1}{{300}} \cdot {270^3} + b \cdot {270^2} + 270c + 12000 = 55740\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}540b + c = 729\\72900b + 270c = 109350\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{6}{5}\\c = 81\end{array} \right.\).

Vậy hàm số đã cho là \(f\left( t \right) =  - \frac{1}{{300}}{t^3} + \frac{6}{5}{t^2} + 81t + 12000\).

Thử lại \(f'\left( t \right) =  - \frac{1}{{100}}{t^2} + \frac{{12}}{5}t + 81\); \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 270\\t =  - 30\end{array} \right.\).

Vì \(t > 0\)nên \(t =  - 30\) loại.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy tại thời điểm t = 270, tốc độ thay đổi quy mô quần thể bằng 0, trước đó quần thể đang trong giai đoạn tăng trưởng và sau đó bắt đầu suy giảm. Chọn C.