Một khay có 11 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số tự nhiên từ 1 đến 11, hai thẻ khác nhau được ghi hai số khác nhau.

Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên một thẻ trong khay” và biến cố M: “Số xuất hiện trên thẻ là bội của 2”. Tính xác suất của biến cố M.

a) Xét \(\Delta BEC\) có: \[\widehat {BEC} = 90^\circ \,\left( {BE \bot AC} \right)\] nên \(B\); \(C\); \(E\) thuộc đường tròn đường kính\(BC\).

Xét \(\Delta BFC\) có: \[\widehat {BFC} = 90^\circ \,\left( {CF \bot AB} \right)\] nên \(B\); \[F\]; \(C\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Suy ra bốn điểm \(B\); \(F\); \(E\); \(C\)  cùng thuộc đường tròn đường kính\(BC\)

b) \(MF\,.\,ME = MB\,.\,MC\)

  \(MB\,.\,MC = MK\,.\,MA\)

Suy ra: \[ME\,.\,MF = MK\,.\,MA\]

Suy ra: \(\Delta MFA \sim \Delta MKE\)

c) Xét \(\Delta ABC\) có

\(BE\); \(CF\) là hai đường cao cắt nhau tại \(H\)

Suy ra \(H\)là trực tâm\(\Delta ABC\)

suy ra bốn điểm \(B,\)\(F\), \(D\), \(H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BH\)

Suy ra \(\widehat {HFD} = \widehat {HBD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HD\))

Xét đường tròn đường kính\(BC\)có\(\widehat {EFC} = \widehat {EBC}\)

Khi đó \[FC\] là tia phân giác \[\widehat {EFD}\].

Có \[\widehat {MFB} = \widehat {ACB}\] (\[ = {180^0} - \widehat {BFE}\])

Có \[\widehat {BFD} = \widehat {ACB}\] (\[ = {180^0} - \widehat {BFE}\])

Suy ra  \[\widehat {MFB} = \widehat {BFD}\]

Suy ra \[FB\] là phân giác trong tại đỉnh \[F\] của tam giác \[FMD\]

Mà \[FC\] là phân giác ngoài tại đỉnh \[F\] tam giác \[FMD\]

Suy ra \(\frac{{CD}}{{CM}} = \frac{{BD}}{{BM}}\)  nên\(\frac{{BM}}{{CM}} = \frac{{BD}}{{CD}}\)

Áp dụng hệ quả định lý Talet có: \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{BP}}{{AC}};\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{QB}}{{AC}}\)

Suy ra \(\frac{{BP}}{{AC}} = \frac{{QB}}{{AC}}\). Vậy \[BP = BQ\].

Gọi số sản phẩm mỗi giờ người công nhân đó dự định làm là \(x\) , sản phẩm (\(x \in {\mathbb{N}^*}\) )

số sản phẩm mỗi giờ người công nhân đó làm thực tế là \(x + 2\) , sản phẩm

Thời gian dự định là \(\frac{{60}}{x}\) , giờ.

Thời gian thực tế là  \(\frac{{60 + 3}}{{x + 2}}\), giờ.

Vì vậy người công nhân đã hoàn thành sớm hơn dự định \(30\) phút, nên ta có phương trình

\(\frac{{60}}{x} - \frac{{63}}{{x + 2}} = \frac{1}{2}\)

\({x^2} + 8x - 240 = 0\)

Giải phương trình ta được \(x = 12\)( TM) và \(x =  - 20\) ( loại)

Vậy số sản phẩm mỗi giờ người công nhân đó dự định làm là \(12\) sản phẩm.