Câu hỏi:

20/04/2026 29

Cho hai biểu thức: $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}$ và $B = \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}}$ với $x \ge 0;x \ne 1$
a) Tính giá trị của $A$ tại $x = 9$.
b) Cho $M = A + B$ .Chứng minh $M = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$.
c) Tìm số nguyên tố $x$ để $M \le \frac{1}{2}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán năm 2025 UBND huyện Thanh Trì (Hà Nội) có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Thay $x = 9$ (TMĐK) vào biểu thức $A$, ta có

$A = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 9 - 1}} = \frac{3}{2}$

Vậy $A = \frac{3}{2}$ với $x = 9$.

b)Với $x > 0;x \ne 4$ ta có

$M = A + B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}}$

$M = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$M = \frac{{x + \sqrt x + 3\sqrt x - 3 - 6\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$M = \frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$M = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$

Vậy $M = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$ (đpcm).

c) Tìm số nguyên tố $x$ để $M \le \frac{1}{2}$ .

để $M \le \frac{1}{2}$

$\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{2} \le 0$

$\frac{{\sqrt x - 3}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} \le 0$

Vì $x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 \ge 1$ hay $2\left( {\sqrt x + 1} \right) > 0$.

Nên $\sqrt x - 3 < 0$ suy ra $x < 9$.

Mà $x$ là số nguyên tố nên $x = \left\{ {2;3;5;7} \right\}$.

Vậy $x = \left\{ {2;3;5;7} \right\}$ thì $M \le \frac{1}{2}$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho $\Delta ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường cao$BE,\,CF$cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh bốn điểm $B$, $F$, $E$, $C$cùng thuộc một đường tròn.
b) Tia \[{\rm{EF}}\] cắt tia \[CB\] tại \[M\]. Gọi \[K\] là giao điểm của\[MA\] và đường tròn $(O)$. Chứng minh $MF\,.\,ME = MB\,.\,MC$và $\Delta MFA$∽$\Delta MKE$.
c) Tia $AH$cắt $BC$tại $D$. Đường thẳng qua $B$và song song với $AC$, cắt tia $AD$ tại $P$, cắt đoạn thẳng $AM$tại $Q$. Chứng minh $BP = BQ$.

Lời giải

$Cho $\Delta ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn \(( (ảnh 1)$

a) Xét $\Delta BEC$ có: \[\widehat {BEC} = 90^\circ \,\left( {BE \bot AC} \right)\] nên $B$; $C$; $E$ thuộc đường tròn đường kính$BC$.

Xét $\Delta BFC$ có: \[\widehat {BFC} = 90^\circ \,\left( {CF \bot AB} \right)\] nên $B$; \[F\]; $C$ thuộc đường tròn đường kính $BC$.

Suy ra bốn điểm $B$; $F$; $E$; $C$ cùng thuộc đường tròn đường kính$BC$

b) $MF\,.\,ME = MB\,.\,MC$

$MB\,.\,MC = MK\,.\,MA$

Suy ra: \[ME\,.\,MF = MK\,.\,MA\]

Suy ra: $\Delta MFA \sim \Delta MKE$

c) Xét $\Delta ABC$ có

$BE$; $CF$ là hai đường cao cắt nhau tại $H$

Suy ra $H$là trực tâm$\Delta ABC$

suy ra bốn điểm $B,$$F$, $D$, $H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BH$

Suy ra $\widehat {HFD} = \widehat {HBD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $HD$)

Xét đường tròn đường kính$BC$có$\widehat {EFC} = \widehat {EBC}$

Khi đó \[FC\] là tia phân giác \[\widehat {EFD}\].

Có \[\widehat {MFB} = \widehat {ACB}\] (\[ = {180^0} - \widehat {BFE}\])

Có \[\widehat {BFD} = \widehat {ACB}\] (\[ = {180^0} - \widehat {BFE}\])

Suy ra \[\widehat {MFB} = \widehat {BFD}\]

Suy ra \[FB\] là phân giác trong tại đỉnh \[F\] của tam giác \[FMD\]

Mà \[FC\] là phân giác ngoài tại đỉnh \[F\] tam giác \[FMD\]

Suy ra $\frac{{CD}}{{CM}} = \frac{{BD}}{{BM}}$ nên$\frac{{BM}}{{CM}} = \frac{{BD}}{{CD}}$

Áp dụng hệ quả định lý Talet có: $\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{BP}}{{AC}};\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{QB}}{{AC}}$

Suy ra $\frac{{BP}}{{AC}} = \frac{{QB}}{{AC}}$. Vậy \[BP = BQ\].

Câu 2

Nhà anh Minh có một cái ao nuôi cá hình chữ nhật $ABCD$, đợt này vừa có một loại cá giống mới nên anh đã giăng lưới quây lại để nuôi thử nghiệm trên một góc ao của mình. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí $M$ ở bờ $AB$ đến một vị trí $N$ ở bờ $AD$ và phải đi qua một cái cọc cố định đã cắm sẵn ở vị trí $E$. Biết khoảng cách $EH$ và $EQ$ từ cọc $E$ đến bờ $AB,AD$ lần lượt là $5$ m và $12$ m. Hỏi diện tích nhỏ nhất của phần góc ao $AMN$ mà anh Minh có thể quây được là bao nhiêu?

$Nhà anh Minh có một cái ao nuôi cá hình chữ nhật $ABCD$, đợt này vừa có một loại cá giống mới nên anh đã giăng lưới quây lại để nuôi thử nghiệm trên một góc ao của mình. (ảnh 1)$

Lời giải

Chứng minh được $a + b \ge 2\sqrt {ab} $.

Dấu “=” xảy ra khi a = b.

${S_{AMN}} = $\[60 + 6x + \frac{{150}}{x} \ge 60 + 2\sqrt {6x.\frac{{150}}{x}} \]=120

Dấu “=” xảy ra khi \[6x = \frac{{150}}{x}\].

\[{x^2} = 25\]

\[x = \pm 5\]

Mà $x > 0$ nên $x = 5$

Vậy diện tích nhỏ nhất của phần góc ao$AMN$ mà anh Thịnh có thể quây được là $120{m^2}$.

Câu 3