Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}\) và \(B = \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{6\sqrt x  - 4}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\)
a) Tính giá trị của \(A\) tại \(x = 9\).
b) Cho \(M = A + B\) .Chứng minh \(M = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\).
c) Tìm số nguyên tố \(x\) để \(M \le \frac{1}{2}\) .

a) Thay \(x = 9\) (TMĐK) vào biểu thức \(A\), ta có

\(A = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt 9  - 1}} = \frac{3}{2}\)

Vậy \(A = \frac{3}{2}\) với \(x = 9\).

b)Với \(x > 0;x \ne 4\) ta có

\(M = A + B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{6\sqrt x  - 4}}{{x - 1}}\)

\(M = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{6\sqrt x  - 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(M = \frac{{x + \sqrt x  + 3\sqrt x  - 3 - 6\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(M = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(M = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)

Vậy \(M = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\) (đpcm).

c) Tìm số nguyên tố \(x\) để \(M \le \frac{1}{2}\) .

để \(M \le \frac{1}{2}\)

\(\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{1}{2} \le 0\)

\(\frac{{\sqrt x  - 3}}{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} \le 0\)

Vì \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 1 \ge 1\) hay \(2\left( {\sqrt x  + 1} \right) > 0\).

Nên  \(\sqrt x  - 3 < 0\) suy ra \(x < 9\).

Mà \(x\) là số nguyên tố nên \(x = \left\{ {2;3;5;7} \right\}\).

Vậy \(x = \left\{ {2;3;5;7} \right\}\) thì \(M \le \frac{1}{2}\).