Lớp 10A có \(10\) học sinh giỏi Toán, \(10\) học sinh giỏi Lý, \(11\) học sinh giỏi hóa, \(6\)học sinh giỏi cả Toán và Lý, \(5\) học sinh giỏi cả Hóa và Lý, \(4\) học sinh giỏi cả Toán và Hóa, \(3\) học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. Tính học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A?

Lời giải

a) Đúng                        b) Đúng                        c) Sai                            d) Đúng

Gọi số học sinh chỉ ủng hộ một tờ \(5000\) đồng, một tờ \(10\,000\) đồng, một tờ \(20\,000\) đồng lần lượt là: \(x\), \(y\), \(z\).

Số học sinh ủng hộ một tờ \(5000\) đồng và một tờ \(10\,000\) đồng là: \(a\).

Số học sinh ủng hộ một tờ \(10\,000\) đồng và một tờ \(20\,000\) đồng là: \(b\).

Số học sinh ủng hộ một tờ \(20\,000\) đồng và một tờ \(5000\) đồng là: \(c\). \(\left( {x,y,z,a,b,c \in \mathbb{N}} \right)\).

Biểu diễn trên biểu đồ Ven (như hình vẽ):

Dựa vào biểu đồ Ven và dữ kiện bài toán, ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}x = y + z{\rm{                          }}\left( 1 \right)\\y + b = 2\left( {z + b} \right){\rm{               }}\left( 2 \right)\\x = a + c + 1{\rm{                      }}\left( 3 \right)\\x + y + z + a + b + c = 25{\rm{   }}\left( 4 \right)\end{array} \right.\] với \[x,y,z,a,b,c \in \mathbb{N}\].

Từ \(\left( 2 \right)\) ta có: \[y - 2z = b \ge 0 \Leftrightarrow y \ge 2z\] \(\left( * \right)\)

Thế \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 3 \right)\) vào \(\left( 4 \right)\) và khử \(x,a,b,c\), ta được: \(4y + z = 26 \Leftrightarrow y = \frac{{26 - z}}{4} \le \frac{{26}}{4}\).

Từ điều kiện \(\left( * \right)\): \(y = \frac{{26 - z}}{4} = \frac{{52 - 2z}}{8} \ge \frac{{52 - y}}{8} \Leftrightarrow 9y \ge 52 \Leftrightarrow y \ge \frac{{52}}{9}\).

Do đó: \(\frac{{52}}{9} \le y \le \frac{{26}}{4}\) và \(y \in \mathbb{N}\) suy ra: \(y = 6\); \(z = 2\); \(x = 8\) thay vào tìm được \(b = 2\) và \(a + c = 7\).

Vậy:

+ Có \(2\) học sinh ủng hộ một tờ \(10\,000\) đồng và một tờ \(20\,000\) đồng.

+ Có \(8\) học sinh chỉ ủng hộ một tờ \(5000\) đồng.

+ Nếu gọi số học sinh ủng hộ một tờ \(5000\) đồng và một tờ \(10\,000\) đồng là: \(a\) và số học sinh ủng hộ một tờ \(20\,000\) đồng và một tờ \(5000\) đồng là \(c\) thì \(a + c = 7\).

+ Có \(6\) học sinh lớp 12A chỉ ủng hộ một tờ \(10\,000\) đồng.