Một nhóm có 12 học sinh chuẩn bị cho hội diễn văn nghệ. Trong danh sách đăng kí tham gia tiết mục múa và tiết mục hát của nhóm đó, có 5 học sinh tham gia tiết mục múa, 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong nhóm tham gia tiết mục hát? Biết có 4 học sinh của nhóm không tham gia tiết mục nào.

Lời giải

a) Đúng                        b) Đúng                        c) Sai                            d) Đúng

Gọi số học sinh chỉ ủng hộ một tờ \(5000\) đồng, một tờ \(10\,000\) đồng, một tờ \(20\,000\) đồng lần lượt là: \(x\), \(y\), \(z\).

Số học sinh ủng hộ một tờ \(5000\) đồng và một tờ \(10\,000\) đồng là: \(a\).

Số học sinh ủng hộ một tờ \(10\,000\) đồng và một tờ \(20\,000\) đồng là: \(b\).

Số học sinh ủng hộ một tờ \(20\,000\) đồng và một tờ \(5000\) đồng là: \(c\). \(\left( {x,y,z,a,b,c \in \mathbb{N}} \right)\).

Biểu diễn trên biểu đồ Ven (như hình vẽ):

Dựa vào biểu đồ Ven và dữ kiện bài toán, ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}x = y + z{\rm{                          }}\left( 1 \right)\\y + b = 2\left( {z + b} \right){\rm{               }}\left( 2 \right)\\x = a + c + 1{\rm{                      }}\left( 3 \right)\\x + y + z + a + b + c = 25{\rm{   }}\left( 4 \right)\end{array} \right.\] với \[x,y,z,a,b,c \in \mathbb{N}\].

Từ \(\left( 2 \right)\) ta có: \[y - 2z = b \ge 0 \Leftrightarrow y \ge 2z\] \(\left( * \right)\)

Thế \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 3 \right)\) vào \(\left( 4 \right)\) và khử \(x,a,b,c\), ta được: \(4y + z = 26 \Leftrightarrow y = \frac{{26 - z}}{4} \le \frac{{26}}{4}\).

Từ điều kiện \(\left( * \right)\): \(y = \frac{{26 - z}}{4} = \frac{{52 - 2z}}{8} \ge \frac{{52 - y}}{8} \Leftrightarrow 9y \ge 52 \Leftrightarrow y \ge \frac{{52}}{9}\).

Do đó: \(\frac{{52}}{9} \le y \le \frac{{26}}{4}\) và \(y \in \mathbb{N}\) suy ra: \(y = 6\); \(z = 2\); \(x = 8\) thay vào tìm được \(b = 2\) và \(a + c = 7\).

Vậy:

+ Có \(2\) học sinh ủng hộ một tờ \(10\,000\) đồng và một tờ \(20\,000\) đồng.

+ Có \(8\) học sinh chỉ ủng hộ một tờ \(5000\) đồng.

+ Nếu gọi số học sinh ủng hộ một tờ \(5000\) đồng và một tờ \(10\,000\) đồng là: \(a\) và số học sinh ủng hộ một tờ \(20\,000\) đồng và một tờ \(5000\) đồng là \(c\) thì \(a + c = 7\).

+ Có \(6\) học sinh lớp 12A chỉ ủng hộ một tờ \(10\,000\) đồng.