Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Tính góc giữa hai đường thẳng \(A'C'\) và \(CD'\).

Đáp án: 36.

Gọi \(n\) là số công nhân đi làm: \(n = 100 - \frac{{x - 40}}{2} = 120 - \frac{x}{2}\);

\(p\) là năng suất lao động: \(p = \frac{{480000}}{{40 \times 100}} - 5 \times \frac{{x - 40}}{2} = 220 - \frac{{5x}}{2}\) \(\left( {0 < x < 88} \right)\).

Số lượng sản phẩm (không có phế phẩm):

\(S\left( x \right) = npx - P\left( x \right) = \left( {120 - \frac{x}{2}} \right)\left( {220 - \frac{{5x}}{2}} \right)x - \frac{{95{x^2} + 120x}}{4}\)

\( \Rightarrow S\left( x \right) = \frac{5}{4}{x^3} - \frac{{1735}}{4}{x^2} + 26370x \Rightarrow S'\left( x \right) = \frac{{15}}{4}{x^2} - \frac{{1735}}{2}x + 26370 = 0 \Rightarrow x = 36\).

Bảng biến thiên:

Vậy để số lượng sản phẩm (không có phế phẩm) thu được là lớn nhất thì nhà máy cần áp dụng mỗi tuần làm việc \(36\) giờ.

Đáp án: \(80\).

Quả bóng rơi xuống tại điểm \[A\left( {\sqrt {20} ;0,5;0} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right):x + by + cz + d = 0\] đi qua \[O\] nên \[d = 0\], điểm \[A\left( {\sqrt {20} ;0,5;0} \right)\] thuộc \[\left( \alpha  \right)\] nên có \[\sqrt {20}  + 0,5b = 0 \Leftrightarrow b =  - 4\sqrt 5 \].

Mặt khác \[\left( \alpha  \right)\] vuông góc với mặt đất nên \[{\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} \bot {\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} \Leftrightarrow {\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}}.\overrightarrow k  = 0 \Leftrightarrow c = 0\].

Vậy mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] có phương trình là \[\left( \alpha  \right):x - 4\sqrt 5 y = 0\].

Vậy \[T = {b^2} + c + d = 80\].