Cho hình vuông \[ABCD\], điểm M nằm trên đoạn thẳng \[AC\] sao cho \[AM = \frac{{AC}}{4}.\] Gọi \[N\] là trung điểm của đoạn thẳng \[DC\].  Chứng minh rằng tam giác \[BMN\] vuông cân.

1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 2x + 2\).

Anh B dự định mua một mảnh đất. Người bán cung cấp cho anh B bản vẽ chi tiết của mảnh đất như hình bên và mức giá là 10.000.000 đồng/m². Tính số tiền anh B cần để mua mảnh đất đó.

Một cầu thủ bóng đá thực hiện đá phạt tại vị trí vuông góc với khung thành, bóng đi đúng hướng phía khung thành theo quỹ đạo là đường cong Parabol \(h\left( x \right) =  - 0,0073{x^2} + 0,1x + 2,7\) với \(h\)(đơn vị tính bằng mét) là độ cao của quả bóng so với mặt đất tại nơi cách vạch vôi khung thành một khoảng \(x\,\,{\rm{(m)}}\) (tham khảo hình vẽ).

a) Vị trí đặt bóng đá phạt cách vạch vôi khung thành bao nhiêu mét?

b) Khi sút phạt đội bạn sẽ cử 4 đến 5 người làm “hàng rào” chắn bóng cách vị trí đặt bóng đá phạt là \(9,5\,{\rm{m}}\). Hỏi quả bóng đá theo quỹ đạo này có vượt qua được “hàng rào” không và cầu thủ đá phạt có đưa được bóng vào phạm vi của khung thành không? Biết rằng, cầu thủ của đội bạn chỉ nhảy cao được tối đa \(2\,{\rm{m}}\) để chắn bóng và khung thành có chiều cao \(2,4\,{\rm{m}}\) (Các kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

a) Một cửa hàng bán lẻ bán hai loại hạt cà phê. Loại thứ nhất giá 140 nghìn đồng/kg và loại thứ hai giá 180 nghìn đồng/kg. Cửa hàng trộn \(x\) kg loại thứ nhất và \(y\) kg loại thứ hai sao cho hạt cà phê đã trộn có giá không quá 170 nghìn đồng/kg.

Hãy viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) thỏa mãn điều kiện đề bài và biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình tìm được trên mặt phẳng toạ độ.

b) Một công ty cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe \[A\] và \[B\], trong đó loại xe \[A\] có 10 chiếc và loại xe \[B\] có 9 chiếc. Một chiếc xe loại \[A\] cho thuê với giá 4 triệu đồng, một chiếc xe loại \[B\] cho thuê với giá 3 triệu. Biết rằng mỗi xe loại \[A\] có thể chở tối đa 20 người và \(0,6\) tấn hàng; mỗi xe loại \[B\] có thể chở tối đa 10 người và \(1,5\) tấn hàng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí bỏ ra là ít nhất.

Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về chất lượng của một loại sản phẩm mới. Người điều tra yêu cầu cho điểm sản phẩm (thang điểm 100) kết quả như sau:

80        65        51        48        45        61        30        35        84        83        60        58        75            72

68        39        41        54        61        72        75        72        61        50        65

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.