Cho hình vuông \[ABCD\], điểm M nằm trên đoạn thẳng \[AC\] sao cho \[AM = \frac{{AC}}{4}.\] Gọi \[N\] là trung điểm của đoạn thẳng \[DC\].  Chứng minh rằng tam giác \[BMN\] vuông cân.

Đặt \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow a \,\,;\,\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow b \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b \,\, & ;\,\,\,\overrightarrow {BN}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\,\,;\,\,\,\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}\left( {2\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

\(\overrightarrow {NA}  = \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BN}  = \frac{1}{4}\left( { - \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b } \right),\,\,\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BN}  = \frac{1}{4}\left( {3\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow {NA} .\overrightarrow {NM}  = 0\)

Suy ra tam giác \(AMN\) vuông tại \(N.\)

Mặt khác: \(N{A^2} = \frac{1}{{16}}.\left( {{{\overrightarrow a }^2} + 9{{\overrightarrow b }^2} - 6\overrightarrow a \overrightarrow b } \right) = \frac{5}{8}{a^2},\,\,{M^2} = \frac{1}{{16}}.\left( {9{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 6\overrightarrow a \overrightarrow b } \right) = \frac{5}{8}{a^2}\)

Suy ra tam giác \(AMN\) cân tại \(N.\)

Vậy tam giác \(AMN\) vuông cân tại \(N\) (đpcm).