Thí sinh chọn các phương án đúng theo yêu cầu từ câu 21 đến câu 25 (nếu chọn duy nhất một phương án mà phương án đó là phương án đúng sẽ được tính một nửa số điểm của câu hỏi. Nếu chọn tất cả các phương án đúng sẽ đạt điểm tối đa của câu hỏi).

Cho các số thực \(x;y\)thỏa mãn điều kiện \(x > 2y\) và phương trình \({\log _2}\frac{{1 + {x^2} + {y^2}}}{{x - 2y}} = {4^{x - 2y}} - 2 \cdot {2^{{x^2} + {y^2}}} + 1\). Những phương án nào dưới đây đúng?    

1. Đúng. Ta có: \(y'\left( x \right) =  - 7 \cdot {10^{ - 4}}y\left( x \right) \Leftrightarrow \frac{{y'\left( x \right)}}{{y\left( x \right)}} =  - 7 \cdot {10^{ - 4}}\).

\(f\left( x \right) = \ln y\left( x \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{y'\left( x \right)}}{{y\left( x \right)}} =  - 7 \cdot {10^{ - 4}}\).

2. Đúng. Ta có: \(\int {f'\left( x \right)dx}  = \int { - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}} dx \Leftrightarrow f\left( x \right) = \ln y\left( x \right) =  - 7 \cdot {10^{ - 4}}x + C.\)

Do nồng độ (đầu) của \(A\) là \(0,05\) mol \({L^{ - 1}}\) nên

\(f\left( 0 \right) = \ln 0,05 =  - 7 \cdot {10^{ - 4}} \cdot 0 + C \Rightarrow C = \ln 0,05\).

Suy ra \(f\left( x \right) =  - 7 \cdot {10^{ - 4}}x + \ln \left( {0,05} \right)\).

3. Sai. Ta có: \(f\left( {30} \right) =  - 210 \cdot {10^{ - 4}} + \ln 0,05 \Rightarrow y\left( {30} \right) = {e^{f\left( {30} \right)}} \approx 0,04896\).

\(f\left( {15} \right) =  - 105 \cdot {10^{ - 4}} + \ln 0,05 \Rightarrow y\left( {15} \right) = {e^{f\left( {15} \right)}} \approx 0,04948\).

\(y\left( {30} \right) - y\left( {15} \right) \approx  - 5,2 \cdot {10^{ - 4}}\).

4. Đúng. \(\ln y\left( x \right) =  - 7 \cdot {10^{ - 4}}x + \ln 0,05 \Rightarrow y\left( x \right) = {e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}x + \ln 0,05}}\).

Nồng độ trung bình chất \(A\) từ thời điểm \(15\) giây đến thời điểm \(30\) giây bằng:

\[\frac{1}{{30 - 15}}\int\limits_{15}^{30} {y\left( x \right)} dx = \frac{1}{{15}}\int\limits_{15}^{30} {{e^{ - 7 \cdot {{10}^{ - 4}}x + \ln 0,05}}} dx \approx 0,05\](mol \({L^{ - 1}}\)). Chọn 1, 2, 4.

1. Đúng. Ta có \({d_1}\)đi qua điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \(B\left( { - 1;4;2} \right)\)và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2; - 1;4} \right)\).

Khi đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {AB}  = 3 \ne 0\). Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\) chéo nhau.

2. Đúng. Mặt phẳng \(\left( P \right)\)có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 3;1} \right)\).

Có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {5;3; - 1} \right)\).

Đường thẳng đi qua \(M\left( {0; - 1;2} \right)\) vuông góc với \({d_1}\) đồng thời song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {5;3; - 1} \right)\) có dạng \(\frac{x}{5} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\).

3. Sai. Mặt phẳng cách đều hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) là mặt phẳng đi qua trung điểm \(I\left( {0;1;\frac{5}{2}} \right)\) của \(AB\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2;0;1} \right)\) có phương trình là \( - 2\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - \frac{5}{2}} \right) = 0\) hay \( - 4x + 2z - 5 = 0\).

4. Sai. Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta \) và \(E,F\) lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với \({d_1}\) và \({d_2}\).

Khi đó \(E\left( {1 + a; - 2 - a;3 + 2a} \right),F\left( { - 1 + 2b;4 - b;2 + 4b} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {ME}  = \left( {a + 1; - a - 1;2a + 1} \right);\overrightarrow {MF}  = \left( {2b - 1; - b + 5;4b} \right)\).

Vì \(A,B,M\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {ME}  = k\overrightarrow {MF} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 = k\left( {2b - 1} \right)\\ - a - 1 = k\left( { - b + 5} \right)\\2a + 1 = k\left( {4b} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{2}\\k =  - \frac{1}{2}\\kb = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{2}\\b =  - 4\end{array} \right.\).

Do đó \(\overrightarrow {MF}  = \left( { - 9;9; - 16} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và có một vectơ chỉ phương \(\left( {9; - 9;16} \right)\) nên có phương trình chính tắc là\(\frac{x}{9} = \frac{{y + 1}}{{ - 9}} = \frac{{z - 2}}{{16}}\).

5. Đúng. Đường thẳng \({d_1};{d_2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\), \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2; - 1;4} \right)\).

Giả sử \(P\left( {1 + t; - 2 - t;3 + 2t} \right) \in {d_1};Q\left( { - 1 + 2t';4 - t';2 + 4t'} \right) \in {d_2}\).

Khi đó \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 2 + 2t' - t;6 - t' + t; - 1 + 4t' - 2t} \right)\).

Để mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) có bán kính nhỏ nhất thì \(PQ\)là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {PQ}  \cdot \overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\overrightarrow {PQ}  \cdot \overrightarrow {{u_2}}  = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 + 2t' - t - 6 + t' - t + 2\left( { - 1 + 4t' - 2t} \right) = 0\\2\left( { - 2 + 2t' - t} \right) - 6 + t' - t + 4\left( { - 1 + 4t' - 2t} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11t' - 6t = 10\\21t' - 11t = 14\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' =  - \frac{{26}}{5}\\t =  - \frac{{56}}{5}\end{array} \right.\).

Khi đó \[\overrightarrow {PQ}  = \left( { - \frac{6}{5};0;\frac{3}{5}} \right)\].

Khi đó bán kính của mặt cầu là \[\frac{{PQ}}{2} = \frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\]. Chọn 1, 2, 5.

1. Đúng. Ta có \(P\left( B \right) = \frac{{360}}{{500}} = \frac{{18}}{{25}} \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = 1 - \frac{{18}}{{25}} = \frac{7}{{25}}\).

2. Sai. Theo đề ta có \(P\left( {A|B} \right) = 0,7;P\left( {A|\overline B } \right) = 0,2\).

3. Đúng. Có \(P\left( A \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right) \cdot P\left( {A|\overline B } \right)\)\( = \frac{{18}}{{25}} \cdot 0,7 + \frac{7}{{25}} \cdot 0,2 = 0,56\).

4. Sai. Có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right) \cdot P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{{18}}{{25}} \cdot 0,7}}{{0,56}} = 0,9 = 90\% \). Chọn 1, 3.

1. Đúng. Ta có: \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow AH = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow A'H = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}}  = \frac{{4a}}{3}.\)

2. Sai. \(AB = AC = a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{2{a^3}}}{3}.\)

3. Đúng. Do \(BB'//\left( {ACC'A'} \right)\) nên \(d\left( {BB',\,AC} \right) = d\left( {BB',\,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = d\left( {B,\,\left( {ACC'A'} \right)} \right).\)

Ta có \(\frac{{d\left( {B,\left( {ACC'A'} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {ACC'A'} \right)} \right)}} = \frac{{BN}}{{HN}} = 3.\) Suy ra \(d\left( {BB',\,AC} \right) = 3d\left( {H,\,\left( {ACC'A'} \right)} \right).\)

4. Sai. Kẻ \(HK \bot AC\) và \(HI \bot A'K.\) Khi đó \(HI \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = HI.\)

Ta có \(HK//AB \Rightarrow \frac{{HK}}{{AB}} = \frac{{NH}}{{NB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow HK = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}.\)

\(d\left( {BB',\,AC} \right) = 3d\left( {H,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = 3HI = 3 \cdot \frac{{A'H \cdot HK}}{{\sqrt {A'{H^2} + H{K^2}} }} = 3 \cdot \frac{{\frac{{4a}}{3} \cdot \frac{a}{3}}}{{\sqrt {\frac{{16{a^2}}}{9} + \frac{{{a^2}}}{9}} }} = \frac{{4a}}{{\sqrt {17} }}.\) Chọn 1, 3.