Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\); \({d_2}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{4}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 3y + z - 2025 = 0\) và điểm \(M\left( {0; - 1;2} \right)\). Những phương án nào dưới đây đúng?    

1. Đúng. Ta có \({d_1}\)đi qua điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \(B\left( { - 1;4;2} \right)\)và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2; - 1;4} \right)\).

Khi đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {AB}  = 3 \ne 0\). Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\) chéo nhau.

2. Đúng. Mặt phẳng \(\left( P \right)\)có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 3;1} \right)\).

Có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {5;3; - 1} \right)\).

Đường thẳng đi qua \(M\left( {0; - 1;2} \right)\) vuông góc với \({d_1}\) đồng thời song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {5;3; - 1} \right)\) có dạng \(\frac{x}{5} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\).

3. Sai. Mặt phẳng cách đều hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) là mặt phẳng đi qua trung điểm \(I\left( {0;1;\frac{5}{2}} \right)\) của \(AB\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2;0;1} \right)\) có phương trình là \( - 2\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - \frac{5}{2}} \right) = 0\) hay \( - 4x + 2z - 5 = 0\).

4. Sai. Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta \) và \(E,F\) lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với \({d_1}\) và \({d_2}\).

Khi đó \(E\left( {1 + a; - 2 - a;3 + 2a} \right),F\left( { - 1 + 2b;4 - b;2 + 4b} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {ME}  = \left( {a + 1; - a - 1;2a + 1} \right);\overrightarrow {MF}  = \left( {2b - 1; - b + 5;4b} \right)\).

Vì \(A,B,M\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {ME}  = k\overrightarrow {MF} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 = k\left( {2b - 1} \right)\\ - a - 1 = k\left( { - b + 5} \right)\\2a + 1 = k\left( {4b} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{2}\\k =  - \frac{1}{2}\\kb = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{2}\\b =  - 4\end{array} \right.\).

Do đó \(\overrightarrow {MF}  = \left( { - 9;9; - 16} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và có một vectơ chỉ phương \(\left( {9; - 9;16} \right)\) nên có phương trình chính tắc là\(\frac{x}{9} = \frac{{y + 1}}{{ - 9}} = \frac{{z - 2}}{{16}}\).

5. Đúng. Đường thẳng \({d_1};{d_2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\), \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2; - 1;4} \right)\).

Giả sử \(P\left( {1 + t; - 2 - t;3 + 2t} \right) \in {d_1};Q\left( { - 1 + 2t';4 - t';2 + 4t'} \right) \in {d_2}\).

Khi đó \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 2 + 2t' - t;6 - t' + t; - 1 + 4t' - 2t} \right)\).

Để mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) có bán kính nhỏ nhất thì \(PQ\)là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {PQ}  \cdot \overrightarrow {{u_1}}  = 0\\\overrightarrow {PQ}  \cdot \overrightarrow {{u_2}}  = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 + 2t' - t - 6 + t' - t + 2\left( { - 1 + 4t' - 2t} \right) = 0\\2\left( { - 2 + 2t' - t} \right) - 6 + t' - t + 4\left( { - 1 + 4t' - 2t} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11t' - 6t = 10\\21t' - 11t = 14\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' =  - \frac{{26}}{5}\\t =  - \frac{{56}}{5}\end{array} \right.\).

Khi đó \[\overrightarrow {PQ}  = \left( { - \frac{6}{5};0;\frac{3}{5}} \right)\].

Khi đó bán kính của mặt cầu là \[\frac{{PQ}}{2} = \frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\]. Chọn 1, 2, 5.