Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {0;1;1} \right),B\left( {1;0; - 3} \right),C\left( { - 1; - 2; - 3} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2z - 2 = 0\). Biết rằng \(D\left( {a;b;c} \right)\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho thể tích tứ diện \(ABCD\) lớn nhất. Tính \(a + b + c\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án: _____
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm\[I\left( {1;0;--1} \right)\], bán kính \(R = 2\).
Ta có \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}}\) nên \({V_{ABCD}}\)lớn nhất khi và chỉ khi \(d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right)\) lớn nhất.
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua điểm \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Suy ra \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\).
Gọi \({D_1};{D_2}\) là các giao điểm của \(\Delta \) và mặt cầu \(\left( S \right)\).
Tọa độ điểm \({D_1};{D_2}\) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = - 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{z = - 1 + t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2z - 2 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{2}{3}}\\{t = \frac{{ - 2}}{3}}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow {D_1}\left( {\frac{7}{3};\frac{{ - 4}}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\,;{D_2}\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{4}{3};\frac{{ - 5}}{3}} \right)\)
Ta thấy: \(d\left( {{D_1},\left( {ABC} \right)} \right) > d\left( {{D_2},\left( {ABC} \right)} \right)\). Vậy điểm \(D\left( {\frac{7}{3}; - \frac{4}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\) \( \Rightarrow a + b + c = \frac{2}{3} \approx 0,67\).
Đáp án cần nhập là: 0,67.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Vì \(M \in Oz,N \in d\) nên \(M\left( {0;0;m} \right),N\left( {n + 1;2n;n - 2} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( {n + 1;2n;n - m - 2} \right)\).
Đường thẳng \(d'//\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow 3\left( {n + 1} \right) - 2n + n - m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2n + 1\).
Do đó \(M{N^2} = {\left( {n + 1} \right)^2} + 4{n^2} + {\left( {n + 3} \right)^2} = 6{\left( {n + \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{{22}}{3} \ge \frac{{22}}{3}\).
Do đó độ dài nhỏ nhất đoạn \(MN\) là \(\sqrt {\frac{{22}}{3}} \approx 2,71\).
Đáp án cần nhập là: 2,71.
Lời giải
Ta có: \(AD = \frac{1}{4}AC = \frac{1}{4} \cdot 2AB = \frac{1}{2}AB\); suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{2} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Hai tam giác ABD và ACB đồng dạng vì có góc \(\widehat A\) chung và \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\).
Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{BD}}{{CB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BD = \frac{1}{2}BC = 5\,cm\).
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được hai tam giác ADB và AED đồng dạng, suy ra \(DE = \frac{1}{2}BD = 2,5\,cm\).
Độ dài đường gấp khúc CBDEFGH... bằng \(l = CB + BD + DE + EF + FG + ... = 10 + 5 + 2,5 + ...\)
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 10\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Do đó \(l = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{10}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 20\,cm\).
Đáp án cần nhập là: 20.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập