Thời gian chạy cự li 100 mét của một nhóm học sinh nam cho kết quả như sau (đơn vị: giây):

Em hãy lập bảng tần số và vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng cho mẫu dữ liệu trên.

a) Gọi I là trung điểm của cạnh HC.

Ta có tam giác HEC và HDC là các tam giác vuông có chung cạnh huyền HC.

nên IE = IH = IC = ID.

Vậy các điểm C, D, H, E cùng thuộc 1 đường tròn

b) Vì các điểm C, D, H, E cùng thuộc 1 đường tròn nên tứ giác CDHE nội tiếp. Do đó \(\widehat {DHE} + \widehat {ECD} = {180^o}\)

suy ra \[\widehat {ECD} = {180^o} - \widehat {DHE}.\] (1)

Ta có \(\widehat {AHF} + \widehat {DHE} = {180^o}\)(hai góc kề bù)

Nên \[\widehat {AHF} = {180^o} - \widehat {DHE}.\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ECD} = \widehat {AHF}\) hay \(\widehat {ACB} = \widehat {AHF}\). (*)

Trong đường tròn (O;R) có \(\widehat {AFB} = \widehat {ACB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB). (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(\widehat {AHF} = \widehat {AFB}\) hay \(\widehat {AHF} = \widehat {AFH}\).

Nên tam giác AHF cân tại A.

c) Vì tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn tâm I nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta CDE\).

Xét \(\Delta ABE\) vuông tại E có M là trung điểm AB.

Suy ra \(ME = MA = MB = \frac{{AB}}{2}\)nên \(\Delta AME\) cân tại M

Do đó \(\widehat {MEA} = \widehat {MAE}\)hay \(\widehat {MEA} = \widehat {BAE}\)(3)

Xét \(\Delta HEC\) vuông tại E có I là trung điểm HC.

Suy ra \(IE = IC = IH = \frac{{HC}}{2}\)nên \(\Delta IEC\) cân tại I

Do đó \(\widehat {IEC} = \widehat {ICE}\)(4)

Ta có H là giao điểm của 2 đường cao AD và BE nên H là trực tâm của\(\Delta ABC\)Do đó CH \[ \bot \] AB. Suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {ICE}\)(cùng phụ \(\widehat {BAC}\)) (5)

Lại có \(\widehat {BAE} + \widehat {ABE} = {90^o}\)(tam giác ABE vuông tại E) (6)

Từ (3); (4); (5); (6) suy ra \(\widehat {MAE} + \widehat {CEI} = {90^o}\)

Do đó \(\widehat {MEI} = {90^o}\) hay \(ME \bot EI\)tại E.

Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE.

Ký hiệu các bạn Hưng, Tuấn, Dũng, Nga, Mai lần lượt là H, T, D, N, M.

Không gian mẫu \(\Omega = \{ (H;T);(H;D);(H;N);(H;M);(T;D);(T;N);(T;M);(D;N);\)

\((D;M);(N;M)\} \).

Không gian mẫu có 10 phần tử.

Vì hai bạn được chọn ngẫu nhiên nên các kết quả này là đồng khả năng.

Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố A là (H; N); (H; M); (T; N); (T; M), (D; N), (D;M).

Vậy \[P(A) = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}.\]

Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố B là (H;N); (T; N); (D; N); (N; M).

Vậy \[P(B) = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}.\]