Một lớp học dự định thuê xe ô tô để đi tham quan. Chi phí thuê xe là 2 triệu đồng. Lớp dự định dùng quỹ lớp hỗ trợ 350 000 đồng, phần còn lại chia đều cho các học sinh tham gia. Tuy nhiên, để mỗi học sinh không phải đóng quá 100 000 đồng, lớp cần có ít nhất bao nhiêu học sinh tham gia?

a) \(\Delta \)ABC ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm trên BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F nên \(\widehat {IEC} = \widehat {IDC} = {90^0}\)nên \(\Delta \)IEC nội tiếp đường tròn đường kính IC (1) 0,25

\(\Delta \)IDC nội tiếp đường tròn đường kính IC (2)

Từ (1) và (2) nên 4 điểm E,I,D,C cùng thuộc một đường tròn

b) Ta có \(\widehat {IEH} + \widehat {{E_1}} = \widehat {IEC} = {90^0}\,(1)\)

Có CE,CD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C của (I) nên CE=CD và CI là tia phân giác \(\widehat {ECD}\)

Vì CE=CD, EI=ID nên IC là đường trung trực của ED nên \(ED \bot IC\)

hay \(\widehat {{H_1}} + \widehat {{E_2}} = {90^0}(4)\)

Có EI=HI nên \(\Delta \)EIH cân tại I nên \(\widehat {IEH} = \widehat {{H_1}}\,\,(5)\)

Từ (3), (4), (5) nên \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}}\)hay EH là tia phân giác \(\widehat {DEC}\)có EH và CI là hai tia phân giác cắt nhau tại H nên H là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta \)CED

c) Gọi S là điểm chính giữa cung EFD. Chứng minh HN.SC=SN.HC

S là điểm chính giữa cung EFD và H là điểm chính giữa cung ED ( Vì IC là tia phân giác \(\widehat {EIC}\) nên SH là đường kính (I) nên \(\widehat {SEH} = {90^0}\)( góc nội tiếp chắn nửa (I)

\(\widehat {SEN} + \widehat {{E_2}} = {90^0};\widehat {AES} + \widehat {{E_1}} = {90^0}\) mà \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}} \Rightarrow \widehat {SEN} = \widehat {AES}\)

Theo tính chất đường phân giác ngoài có \(\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{EN}}{{EC}}\) (6)

EH là tia phân giác \(\widehat {DEC}\) nên \(\frac{{HN}}{{HC}} = \frac{{EN}}{{EC}}\) (7)

Từ (6) và (7) ta có \(\frac{{HN}}{{HC}} = \frac{{SN}}{{SC}} \Rightarrow HN.SC = SN.HC\)

Gọi x,y (h) lần lượt là thời gian tổ A, B làm riêng một mình để hoàn thành sửa đoạn đường

(ĐK: x,y > 8)

Nếu hai tổ cùng làm thì trong 8h xong việc nên ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\,\,(1)\)

Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của tổ A ít hơn tổ B là 12 giờ

ta có y – x =12 hay y = x +12 (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 12}} = \frac{1}{8}\,\,\)hay \({x^2} - 4x - 96 = 0\)

Giải phương trình \({x_1} = 12\) (TM) và \({x_2} = - 8\) (loại)

Vậy nếu làm riêng thì tổ 1 hoàn thành trong 12h, tổ 2 hoàn thành trong 12+12=24h