Một chiếc máy bay bay lên với vận tốc \(600\,{\rm{km/h}}\). Đường bay lên tạo với phương nằm ngang một góc \(37^\circ \) (hình bên). Hỏi sau \(4\) phút, máy bao lên cao được bao nhiêu ki-lô-mét theo phương thẳng đứng? (làm tròn đến độ chính xác 0,05)

a) \(\Delta \)ABC ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm trên BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F nên \(\widehat {IEC} = \widehat {IDC} = {90^0}\)nên \(\Delta \)IEC nội tiếp đường tròn đường kính IC (1) 0,25

\(\Delta \)IDC nội tiếp đường tròn đường kính IC (2)

Từ (1) và (2) nên 4 điểm E,I,D,C cùng thuộc một đường tròn

b) Ta có \(\widehat {IEH} + \widehat {{E_1}} = \widehat {IEC} = {90^0}\,(1)\)

Có CE,CD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C của (I) nên CE=CD và CI là tia phân giác \(\widehat {ECD}\)

Vì CE=CD, EI=ID nên IC là đường trung trực của ED nên \(ED \bot IC\)

hay \(\widehat {{H_1}} + \widehat {{E_2}} = {90^0}(4)\)

Có EI=HI nên \(\Delta \)EIH cân tại I nên \(\widehat {IEH} = \widehat {{H_1}}\,\,(5)\)

Từ (3), (4), (5) nên \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}}\)hay EH là tia phân giác \(\widehat {DEC}\)có EH và CI là hai tia phân giác cắt nhau tại H nên H là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta \)CED

c) Gọi S là điểm chính giữa cung EFD. Chứng minh HN.SC=SN.HC

S là điểm chính giữa cung EFD và H là điểm chính giữa cung ED ( Vì IC là tia phân giác \(\widehat {EIC}\) nên SH là đường kính (I) nên \(\widehat {SEH} = {90^0}\)( góc nội tiếp chắn nửa (I)

\(\widehat {SEN} + \widehat {{E_2}} = {90^0};\widehat {AES} + \widehat {{E_1}} = {90^0}\) mà \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}} \Rightarrow \widehat {SEN} = \widehat {AES}\)

Theo tính chất đường phân giác ngoài có \(\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{EN}}{{EC}}\) (6)

EH là tia phân giác \(\widehat {DEC}\) nên \(\frac{{HN}}{{HC}} = \frac{{EN}}{{EC}}\) (7)

Từ (6) và (7) ta có \(\frac{{HN}}{{HC}} = \frac{{SN}}{{SC}} \Rightarrow HN.SC = SN.HC\)

Một khối đồ chơi gồm hai khối cầu (\({H_1}\)), (\({H_2}\)) tiếp xúc với nhau, lần lượt có bán kính tương ứng là \({r_1},{r_2}\) thỏa mãn \({r_2} = \frac{1}{2}{r_1}\) ( hình bên). Biết thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 180 cm³. Tính thể tích khối cầu (\({H_1}\)).

Ta có \({V_1} = \frac{4}{3}\pi r_1^3,\,{V_2} = \frac{4}{3}\pi r_2^3 = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{{r_1}}}{2}} \right)^3} = \frac{1}{6}\pi r_1^3\)

\({V_1} + {V_2} = 180\,\,hay\,\left( {\frac{4}{3} + \frac{1}{6}} \right)\pi r_1^3 = 180\) nên \(\pi r_1^3 = 120\)\( \Rightarrow {V_1} = \frac{4}{3}.120 = 160\,(c{m^3})\)