Một hộp chứa 4 quả cầu cùng loại trong đó có 2 quả cầu đỏ, 1 quả cầu xanh và 1 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên đồng thời ra hai quả cầu.

(a) Mô tả không gian mẫu của phép thử.

(b) Tính xác suất của biến cố E “Chọn được 2 quả cầu khác màu ”.

a) \(\Delta \)ABC ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm trên BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F nên \(\widehat {IEC} = \widehat {IDC} = {90^0}\)nên \(\Delta \)IEC nội tiếp đường tròn đường kính IC (1) 0,25

\(\Delta \)IDC nội tiếp đường tròn đường kính IC (2)

Từ (1) và (2) nên 4 điểm E,I,D,C cùng thuộc một đường tròn

b) Ta có \(\widehat {IEH} + \widehat {{E_1}} = \widehat {IEC} = {90^0}\,(1)\)

Có CE,CD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C của (I) nên CE=CD và CI là tia phân giác \(\widehat {ECD}\)

Vì CE=CD, EI=ID nên IC là đường trung trực của ED nên \(ED \bot IC\)

hay \(\widehat {{H_1}} + \widehat {{E_2}} = {90^0}(4)\)

Có EI=HI nên \(\Delta \)EIH cân tại I nên \(\widehat {IEH} = \widehat {{H_1}}\,\,(5)\)

Từ (3), (4), (5) nên \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}}\)hay EH là tia phân giác \(\widehat {DEC}\)có EH và CI là hai tia phân giác cắt nhau tại H nên H là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta \)CED

c) Gọi S là điểm chính giữa cung EFD. Chứng minh HN.SC=SN.HC

S là điểm chính giữa cung EFD và H là điểm chính giữa cung ED ( Vì IC là tia phân giác \(\widehat {EIC}\) nên SH là đường kính (I) nên \(\widehat {SEH} = {90^0}\)( góc nội tiếp chắn nửa (I)

\(\widehat {SEN} + \widehat {{E_2}} = {90^0};\widehat {AES} + \widehat {{E_1}} = {90^0}\) mà \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}} \Rightarrow \widehat {SEN} = \widehat {AES}\)

Theo tính chất đường phân giác ngoài có \(\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{EN}}{{EC}}\) (6)

EH là tia phân giác \(\widehat {DEC}\) nên \(\frac{{HN}}{{HC}} = \frac{{EN}}{{EC}}\) (7)

Từ (6) và (7) ta có \(\frac{{HN}}{{HC}} = \frac{{SN}}{{SC}} \Rightarrow HN.SC = SN.HC\)

Gọi x,y (h) lần lượt là thời gian tổ A, B làm riêng một mình để hoàn thành sửa đoạn đường

(ĐK: x,y > 8)

Nếu hai tổ cùng làm thì trong 8h xong việc nên ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\,\,(1)\)

Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của tổ A ít hơn tổ B là 12 giờ

ta có y – x =12 hay y = x +12 (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 12}} = \frac{1}{8}\,\,\)hay \({x^2} - 4x - 96 = 0\)

Giải phương trình \({x_1} = 12\) (TM) và \({x_2} = - 8\) (loại)

Vậy nếu làm riêng thì tổ 1 hoàn thành trong 12h, tổ 2 hoàn thành trong 12+12=24h