Cho hàm số \(y = a{x^2}\) có đồ thị hàm số \((P)\). Xác định \(a\) biết \((P)\) đi qua điểm \(A(1; - 2)\) và vẽ đồ thị hàm số \((P)\) với \(a\) vừa tìm được.

Cho đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] đường kính \[AB\]. Trên tiếp tuyến tại \[A\] của \[\left( {O;R} \right)\] lấy \[M\] sao cho AM = 2R. Gọi C là giao điểm của MB với đường tròn (O). Kẻ \[AH \bot OM\]tại H.

(a) Chứng minh các điểm A, M, H, C cùng thuộc một đường tròn.

(b) Chứng minh \[O{B^2} = OH.OM\].

(c) Chứng minh \[HB \bot HC\].

Một bình nước có dạng hình trụ có chiều cao 4 cm và bán kính đáy R kết hợp với nửa hình cầu như hình vẽ minh hoạ sau. Khi bình nước nằm ngang, mực nước trong bình có độ cao bằng bán kính đáy của hình trụ. Nếu đặt bình nước thẳng đứng sao cho nửa hình cầu ở phía trên thì chiều cao mực nước trong bình lúc này bằng chiều cao của hình trụ. Tính bán kính đáy của hình trụ.

Một cây quạt giấy có bán kính nan quạt là \(OA\; = 25\,{\rm{cm}}\) , độ dài phần nan quạt không dán giấy \(OC\; = 12\,{\rm{cm}}\) , biết độ xòe căng nhất của quạt tạo thành góc \[\widehat {AOB} = 130^\circ \]. Tính diện tích giấy để làm nên chiếc quạt như trên, biết quạt được dán bằng \(2\) lớp giấy. (Bỏ qua phần hao phí của các mép dán, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Cho phương trình \[3{x^2} - 12x - 5 = 0\] gọi \[{x_1},{x_2}\] là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(T = \frac{{x_1^2 + 4{x_2} - {x_1}{x_2}}}{{4{x_1} + x_2^2 + {x_1}{x_2}}}\).

Nhóm học sinh tình nguyện khối 9 của một trường trung học cơ sở có 5 bạn, trong đó có 3 bạn nam là: Trung; Quý; Việt và 2 bạn nữ là: An; Châu. Chọn ngẫu nhiên hai bạn trong nhóm đó để tham gia hoạt động tình nguyện bên trường. Tính xác suất của biến cố A: “Trong hai bạn được chọn chỉ có một bạn là nữ”.

Rút gọn biểu thức B = \[\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{3}{{\sqrt x - 3}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 3}}{{x + 9}}\] với \[x \ge 0\] và \[x \ne 9\].

Một khúc sông rộng khoảng \(250\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) (ứng với cạnh \(AC\) trên hình). Một chiếc thuyền muốn qua sông theo phương ngang AC nhưng bị dòng nước đẩy theo phương xiên, nên phải đi khoảng \(320\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) (ứng với cạnh \(BC\)) mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy thuyền lệch đi một góc \(C\) bằng bao nhiêu độ?