Cho hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}(2m + 1)x - 3y = 3m - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\(m + 3)x - (m + 1)y = 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\]

a. Tìm \[m\] để hệ phương trình có nghiệm

b. Tìm \[m\] để hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right)\] thỏa mãn \[x \ge 2y\]

c. Tìm \[m\] để hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right)\] sao cho \[P = {x^2} + 3{y^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất

Từ (1) \[ \Rightarrow y = \frac{{(2m + 1)x - 3m + 2}}{3}\] thay vào phương trình (2) ta được:

\[(m + 3)x - \frac{{(m + 1)\left[ {\left( {2m + 1} \right)x - 3m + 2} \right]}}{3} = 2m\]

\[3(m + 3)x - (m + 1)(2m + 1)x + (m + 1)(3m - 2) = 6m\]

\[2({m^2} - 4)x = 3{m^2} - 5m - 2\,\,\,\,\,(*)\]

a. Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 = 0\\3{m^2} - 5m - 2 = 0\end{array} \right.\\{m^2} - 4 \ne 0\end{array} \right.\]

\[\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne  \pm 2\end{array} \right.\]

Vậy điều kiện: \[m \ne 2\].

b. Hệ có nghiệm duy nhất \[ \Leftrightarrow {m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2\]

Khi đó: \[(*) \Leftrightarrow x = \frac{{(3m + 1)(m - 2)}}{{2(m - 2)(m + 2)}} = \frac{{3m + 1}}{{2(m + 2)}}\]

\[ \Rightarrow y = \frac{{\frac{{(2m + 1)(3m + 1)}}{{2(m + 2)}} - 3m + 2}}{3} = \frac{{3 - m}}{{2(m + 2)}}\]

Do đó: \[x \ge 2y \Leftrightarrow \frac{{3m + 1}}{{2(m + 2)}} \ge \frac{{2(3 - m)}}{{2(m + 2)}}\]

\[\frac{{5m - 5}}{{2(m + 2)}} \ge 0\]

\[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge 0\\m + 2 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \le 0\\m + 2 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]

\[\left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m <  - 2\end{array} \right.\]

Vậy \[m > 2\] hoặc \[1 \le m < 2\] hoặc \[m <  - 2\] là các giá trị cần tìm.

c. Hệ có nghiệm duy nhất khi \[m \ne  \pm 2\], khi đó nghiệm của hệ là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3m + 1}}{{2(m + 2)}}\\y = \frac{{3 - m}}{{2(m + 2)}}\end{array} \right.\]

\[P = \frac{{{{(3m + 1)}^2}}}{{4{{(m + 2)}^2}}} + \frac{{3{{(3 - m)}^2}}}{{4{{(m + 2)}^2}}} = \frac{{3{m^2} - 3m + 7}}{{{m^2} + 4m + 4}}\]

\[P - \frac{3}{4} = \frac{{{{(3m - 4)}^2}}}{{{{(m + 2)}^2}}} \ge 0\].

Do đó \[P \ge \frac{3}{4}\] nên \[m = \frac{4}{3}\]