Chứng minh các bất đẳng thức:

a) \({(x + y)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 3 \ge 2(x + y + z)\)

c) \(\frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{3} \ge {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^2}\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 26 bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 1. Bất đẳng thức có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) \({(x + y)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Leftrightarrow 0 \le {(x - y)^2}\).

b) \({x^2} + {y^2} + {z^3} + 3 \ge 2(x + y + z) \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} \ge 0\).

\({\rm{ c) }}\frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{3} \ge {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx \ge 0\)\( \Leftrightarrow {(x - y)^2} + {(y - z)^2} + {(z - x)^2} \ge 0.\)

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh các bất đẳng thức:
a) \(ab \le \frac{{{{(a + b)}^2}}}{4}\) b) \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2(a + b + c)\).

Xem đáp án

Lời giải

a) \(ab \le \frac{{{{(a + b)}^2}}}{4} \Leftrightarrow 4ab \le {a^2} + 2ab + {b^2}\).\( \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0 \Leftrightarrow {(a - b)^2} \ge 0\)

b) Ta có \(\quad {a^2} + 1 \ge 2a;{b^2} + 1 \ge 2b;{c^2} + 1 \ge 2c\). Do đó \(\quad {a^2} + {b^2} + {c^2} + 3 \ge 2(a + b + c)\) (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({\rm{a}} = {\rm{b}} = {\rm{c}} = 1\) ).

Câu 2

Cho \(0 < a < b\), hãy so sánh:

a) \({a^2}\) và \(ab;{b^2}\) và\[ab\].

b)\({a^2}\) và \({b^2};{a^3}\) và \({b^3}\).

Xem đáp án

Lời giải

a) \({a^2} < ab\); \(ab < {b^2}\). b) \({a^2} < {b^2};{a^3} < {b^3}\).

Câu 3