Rút gọn các biểu thức sau (giả sử các biểu thức chữ đều có nghĩa):

\[\frac{{2 + \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }};\,\,\frac{{\sqrt {15}  - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }};\,\,\frac{{2\sqrt 3  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8  - 2}};\,\,\frac{{a - \sqrt a }}{{1 - \sqrt a }};\,\,\frac{{p - 2\sqrt p }}{{\sqrt p  - 2}}.\]

Rút gọn rồi so sánh giá trị của \(M\) với \(1\), biết:

                                      \[M = \left( {\frac{1}{{a - \sqrt a }} + \frac{1}{{\sqrt a  - 1}}} \right):\frac{{\sqrt a  + 1}}{{a - 2\sqrt a  + 1}}\]   với \[a > 0\] và \[a \ne 1\].

Rút gọn biểu thức sau (với\[a > 0,{\rm{ }}b > 0\]);

    a). \[5\sqrt a  - 4b\sqrt {25{a^3}}  + 5\sqrt {16a{b^2}}  - 2\sqrt {9a} \]

b). \[5a\sqrt {64a{b^3}}  - \sqrt 3 \sqrt {12{a^3}{b^3}}  + 2ab\sqrt {9ab}  - 5b\sqrt {81{a^3}b} .\]

Cho biểu thức:

\[B = \sqrt {16x + 16}  - \sqrt {9x + 9}  + \sqrt {4x + 4}  + \sqrt {x + 1} \] với \[x \ge  - 1.\]

    a). Rút gọn biểu thức \(B\);

    b). Tìm \(x\)sao cho \(B\) có giá trị bằng \(16\).

Rút gọn biểu thức

    a). \[\sqrt {\frac{a}{b}}  + \sqrt {ab}  + \frac{a}{b}\sqrt {\frac{b}{a}} \] với \[a > 0\] và \[b > 0\];

    b). \[\sqrt {\frac{m}{{1 - 2x + {x^2}}}} .\sqrt {\frac{{4m - 8mx + 4m{x^2}}}{{81}}} \] với \[m > 0\] và \[x \ne 1\].

Cho \[B = \frac{{2\sqrt x  - 9}}{{x - 5\sqrt x  + 6}} - \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{3 - \sqrt x }}\]

    a). Xác định \(x\) để cho \(B\) có nghĩa;

    b). Rút gọn \(B\);

    c). Tìm \(x\) để \[B > 1\];

    d). Tìm \(x\) nguyên để \(B\) là số nguyên.

Rút gọn các biểu thức sau với \(x \ge 0\):

    a). \(2\sqrt {3x}  - 4\sqrt {3x}  + 27 - 3\sqrt {3x} \)  b). \(3\sqrt {2x}  - 5\sqrt {8x}  + 7\sqrt {18x}  + 28\).