Rút gọn các biểu thức :
a) \(\frac{{3 + 3\sqrt 5 - \sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{6 + 2\sqrt 5 }}\); b) \(\frac{{x\sqrt x + x\sqrt y - y\sqrt x - y\sqrt y }}{{x - y + y\sqrt x - y\sqrt y }}\).

Câu hỏi trong đề: 13 bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Ôn tập cuối chương 3 có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có \(\frac{{3 + 3\sqrt 5 - \sqrt 2 - \sqrt {10} }}{{6 + 2\sqrt 5 }} = \frac{{3\left( {1 + \sqrt 5 } \right) - \sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 5 } \right)}}{{{{(1 + \sqrt 5 )}^2}}} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}}{{{{(1 + \sqrt 5 )}^2}}} = \frac{{3 - \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 5 }}.\)
b) \(\frac{{x\sqrt x + x\sqrt y - y\sqrt x - y\sqrt y }}{{x - y + y\sqrt x - y\sqrt y }} = \frac{{x\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) - y\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) + y\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x - y} \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y + y} \right)}}\)

\( = \frac{{{{(\sqrt x + \sqrt y )}^2}\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y + y} \right)}} = \frac{{{{(\sqrt x + \sqrt y )}^2}}}{{\sqrt x + \sqrt y + y}}\). Điều kiện \(x \ge 0;y \ge 0;x \ne y\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho biểu thức \({\rm{P}} = \left( {\frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 3}} + \frac{5}{{\sqrt {\rm{x}} - 3}} - \frac{6}{{9 - {\rm{x}}}}} \right):\frac{6}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}}\).
a) Rút gọn \(P\).
b) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \({\rm{P}}\) có giá trị nguyên.

Lời giải

a) Điều kiện : \(x \ge 0;x \ne 9\). Khi đó ta có

\(P = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right) + 5\left( {\sqrt x + 3} \right) + 6}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{6} = \frac{{\sqrt x - 3 + 5\sqrt x + 15 + 6}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{6} = \frac{{6\sqrt x + 18}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{6}\)

\( = \frac{{6\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{6} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}}\)

Ta có \(P = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 5}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{5}{{\sqrt x - 3}}\).
P có giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt x - 3}}\) có giá trị nguyên\( \Leftrightarrow \sqrt x - 3 \in U\left( 5 \right) \Leftrightarrow \sqrt x - 3 \in \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\)

Ta có bảng sau :

\(\sqrt {\rm{x}} - 3\)	1	-1	5	-5
\(\sqrt {\rm{x}} \)	4	2	8	-2
\({\rm{x}}\)	16	4	64	\(\parallel \)

Vậy khi \(x \in \left\{ {4,16,64} \right\}\) thì \(P\) có giá trị nguyên.

Câu 2

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x + 3}}{{x - 9}} + \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\).
a) Rút gọn \(P\). b) Chứng minh rằng \({\rm{P}} > \frac{1}{3}\).

Lời giải

a) Điều kiện : \(x > 0;x \ne 9\). Khi đó ta có

\(P = \frac{{x + 3 + \sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}\)
b) Xét hiệu\(P - \frac{1}{3} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}} - \frac{1}{3} = \frac{{3\sqrt x + 3 - \sqrt x - 3}}{{3\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{2\sqrt x }}{{3\left( {\sqrt x + 3} \right)}} > 0({\rm{\;v\`i \;}}x > 0){\rm{.\;}}\)

Do đó \({\rm{P}} > \frac{1}{3}\).

Câu 3