Cho tam giác ABC vuông tại \(A.\) Chứng minh rằng: \(\cot B + \cot C \ge 2\)

Kẻ đường cao \(BH\) của \(\Delta ABC\).

 Khi đó ta có \(H{C^2} = {(AC - AH)^2}\).

Áp dụng định lý Pythagore ta có

\(\begin{array}{l}B{C^2} = B{H^2} + H{C^2} = B{H^2} + {(AC - AH)^2}\\ = B{H^2} + A{H^2} + A{C^2} - 2AC \cdot AH\\ = A{B^2} + A{C^2} - 2AC \cdot AH\end{array}\)

Lại có \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)

\( \Rightarrow \cos 60^\circ  = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{{AH}}{{AB}}\) hay \(AH = \frac{{AB}}{2}\)

Vậy \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - AB \cdot AC.\)

Ta đặt \(AB = m\) thì \(BC = 2m\), suy ra

\(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = 4{m^2} - {m^2} = 3{m^2} \Rightarrow AC = m\sqrt 3 \).

Ta có \(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{m}{{2m}} = \frac{1}{2};\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{m\sqrt 3 }}{{2m}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\)

\(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{m}{{m\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{m\sqrt 3 }}{m} = \sqrt 3 \).