Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A,\] đường trung tuyến \[AM\,\,\left( {M \in BC} \right).\] Kẻ \[ME{\rm{ // }}AC\]\[\left( {E \in B} \right),{\rm{ }}MF{\rm{ // }}AB{\rm{ }}\left( {F \in AC} \right).\]

a) Chứng minh tứ giác \[AEMF\] là hình chữ nhật.

b) Chứng minh \[EF\,{\rm{//}}\,BC.\]

Hướng dẫn giải

a) \[\left( {3x + 2y} \right)\left( {{x^2} + 5xy - {y^2}} \right)\]    

\[ = 3{x^3} + 15{x^2}y - 3x{y^2} + 2{x^2}y + 10x{y^2} - 2{y^3}\]

\[ = 3{x^3} + \left( {15{x^2}y + 2{x^2}y} \right)) + \left( { - 3x{y^2} + 10x{y^2}} \right)\; - 2{y^3}\]

\[ = 3{x^3} + 17{x^2}y + 7x{y^2} - 2{y^3}.\]

b) \[\left( {{x^2}y - 2{x^3}{y^2} + 3x} \right)\; + \left( {5{x^3}{y^2} + 2x - {x^2}y} \right)\]

\[ = {x^2}y - 2{x^3}{y^2} + 3x + 5{x^3}{y^2} + 2x - {x^2}y\]

\[ = \;\left( {{x^2}\;y - \;{x^2}y} \right) + \;\left( { - 2{x^3}{y^2} + \;5{x^3}{y^2}} \right) + \;\left( {3x + \;2x} \right)\]

\[ = 3{x^3}{y^2} + 5x.\]

Hướng dẫn giải

Xét \[\Delta OAB\] có: M là trung điểm của OA (gt); N là trung điểm của OB (gt).

Do đó MN là đường trung bình của \[\Delta OAB\].

Suy ra \(MN = \frac{{AB}}{2} = 250\) nên \[AB = 250 \cdot 2 = 500\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\]

Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và B là 500 m.