Cho ΔABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB tại E và HF vuông góc với AC tại F.

(a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật.

(b) Trên tia đối của tia FH lấy điểm M sao cho FH = FM. Trên tia đối của tia EH lấy điểm N sao cho EH = EN. Chứng minh tứ giác AEFM là hình bình hành.

(c) Chứng minh A, M, N thẳng hàng.

a) Xét tứ giác AFHE có:

\(\widehat {FAE} = 90^\circ \) (vì ΔABC vuông ở A)

\(\widehat {AEH} = 90^\circ \) (vì \(HE \bot AB\))

\(\widehat {AFH} = 90^\circ \) (vì \(HF \bot AC\))

Vậy tứ giác AFHE là hình chữ nhật .

b) • Ta có FH // AE (vì tứ giác AFHE là hình chữ nhật)

Suy ra MF // AE (vì F thuộc MH) (1)

• FH = AE (vì tứ giác AFHE là hình chữ nhật)

Mà FH = FM (gt) nên AE = MF (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AEFM là hình bình hành.

c) • AF // EH (vì tứ giác AFHE là hình chữ nhật)

AF // NE (vì E thuộc NH) (3)

• AF = EH (vì tứ giác AFHE là hình chữ nhật)

Mà HE = EN (gt) suy ra AF = NE (4)

Từ (3) và (4) suy ra tứ giác AFEN là hình bình hành hay AN // EF.

Mặt khác AM // EF (vì tứ giác AEFM là hình bình hành).

Theo tiên đề Euclid thì A, M, N thẳng hàng.