Cho tam giác \(ABC\) cân tại , đường cao \(AH\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC.\)

(a) Giả sử \(AC\; = \;6cm\), hãy tính \(HI\)?

(b) Trên tia đối của tia \(IH\) lấy điểm \(K\) sao cho \(IK = IH\). Chứng minh rằng: tứ giác \(AHCK\) là hình chữ nhật.

(c) Tứ giác \(AKHB\) là hình gì? Vì sao?

(d) Gọi \(G\) là trung điểm của \(AB\), chứng minh \(AH,\;BK,\;GI\) đồng quy.

Cho \(a,b,c \ne 0\) thỏa mãn \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = 1\).

Tính giá trị của biểu thức: \(P = \left( {{a^{2025}} + {b^{2025}}} \right)\left( {{b^{2023}} + {c^{2023}}} \right)\left( {{c^{2011}} + {a^{2011}}} \right)\)

Thực hiện phép tính

(a) \(\left( {6{x^3}y + 2xy} \right).\left( {x{y^2}} \right)\)

(b) \(\left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} + 3{y^2}} \right)\)

(c) \(\left( {12{x^2}y - 8x{y^2} + xy} \right):\left( {4xy} \right)\)

(d) \(\left( {5{x^2} - 2xy + 3} \right)\) \( + \;\left( {7 - 10xy + 4{x^2}} \right)\)

(a) Thu gọn và tìm bậc của đơn thức: \(A = \left( {\frac{2}{3}{x^2}{y^2}} \right) \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{4}x{y^3}} \right)\).

(b) Tính giá trị của A biết \(x = 2,y = 1\).

Trong giờ học Mỹ Thuật, bạn Hạnh dán lên trang vở hai hình vuông có độ dài cạnh lần lượt là \(x\;\left( {cm} \right)\), \(y\;\left( {cm} \right)\) như hình bên.

(a) Viết công thức tính tổng diện tích của hai hình vuông đó?

(b) Tính tổng diện tích của hai hình vuông đó tại \(x\; = \;3\) và \(y\; = \;5\)?

 Tìm \(x\), biết:

(a) \(x\left( {3x - 2} \right) - 9{x^3}:3x = 4\)

(b) \(2x\left( {2x + 4} \right) - 4{x^2} = 88\)

(c) \(x\left( {x + 3} \right) - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\;\)