Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{x + 2}} - \frac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \frac{1}{{x - 2}}} \right) \cdot \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{4x}}\) (với \(x \ne  \pm 2,x \ne 0).\)

a) Rút gọn biểu thức \(A\).

b) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x =  - 3\).

c) Tìm giá trị nguyên của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) \(A = \left( {\frac{1}{{x + 2}} - \frac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \frac{1}{{x - 2}}} \right) \cdot \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{4x}}\)

\(A = \left[ {\frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{4x}}\)

\(A = \frac{{x - 2 + 2x + x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{4x}}\)

\(A = \frac{{4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{4x}}\)

\(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\).

Vậy \(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\).

b) Thay \(x =  - 3\) vào biểu thức \(A\) ta được: \(A = \frac{{ - 3 - 2}}{{ - 3 + 2}} = \frac{{ - 5}}{{ - 1}} = 5\).

Vậy với \(x =  - 3\) thì \(A = 5\).

c) \(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{x + 2 - 4}}{{x + 2}} = 1 - \frac{4}{{x + 2}}\).

Để \(A\) có giá trị nguyên thì \(\frac{4}{{x + 2}}\) nguyên hay \(x + 2 \in \)Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1\,;\,\, \pm 2\,;\,\, \pm 4} \right\}\).

Ta có bảng sau:

Vậy \(x \in \left\{ { - 6\,;\,\, - 4\,;\,\, - 3\,;\,\, - 1\,;\,\,0\,;\,\,2} \right\}\).