PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án

 Lâm trường Tam Đảo thống kê đường kính thân gỗ của 60 cây xoan đào được cho ở bảng sau:

Đường kính (cm)	\(\left[ {20;22} \right)\)	\(\left[ {22;24} \right)\)	\(\left[ {24;26} \right)\)	\(\left[ {26;28} \right)\)	\(\left[ {28;30} \right)\)
Tần số	5	20	18	7	10

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu đã cho là

Đáp án: 446

Ta có lợi nhuận của doanh nghiệp là

\(R\left( x \right) = F\left( x \right) - xG\left( x \right) =  - 0,03{x^2} + 800x - 450x - 50000\)\( =  - 0,03{x^2} + 350x - 50000\)

Để lợi nhuận lớn hơn \(100\) triệu đồng ta có

\( - 0,03{x^2} + 350x - 50000 > 100000\)\( \Leftrightarrow  - 0,03{x^2} + 350x - 150000 > 0\)

\( \Leftrightarrow \)\(445,59 < x < 11221,07\), \(x \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất \(446\) sản phẩm.

Đáp án: 864

Đáy ABCD là hình thoi có \(\widehat {ABC} = 60^\circ  \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác đều.

Gọi độ dài cạnh hình thoi là \(x\).

Vì \(C'A = C'B = C'C\) nên hình chiếu vuông góc của C' lên mặt đáy (ABC) phải cách đều 3 đỉnh A, B, C. Tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) đều chính là trọng tâm G của tam giác đó.

Suy ra \(C'G \bot (ABCD)\) và C'G chính là chiều cao \(h\) của lăng trụ.

Gọi M là trung điểm của BC. Trong \(\Delta ABC\) đều, \(AM \bot BC\) và điểm G nằm trên AM. Do đó \(GM \bot BC\).

Ta có \(BC \bot C'G\) và \(BC \bot GM \Rightarrow BC \bot (C'GM) \Rightarrow BC \bot C'M\).

Góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABC) chính là \(\widehat {C'MG} = 45^\circ \).

Xét \(\Delta C'GM\) vuông tại \(G\), có \(\widehat {C'MG} = 45^\circ \) nên là tam giác vuông cân \( \Rightarrow h = C'G = GM\).

Ta có \(AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow GM = \frac{1}{3}AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\). Vậy \(h = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\).

Vì \(AA'\parallel CC'\) nên \(AA'\parallel (BCC'B')\). Do đó, khoảng cách \(d(AA',BC) = d(A,(BCC'B')) = 6\sqrt 3 \).

Trong mặt phẳng \((C'AM)\), kẻ \(AH \bot C'M\) tại \(H\). Vì \(BC \bot (C'AM)\) nên \(BC \bot AH\). Suy ra \(AH \bot (BCC'B')\). Khoảng cách chính là đoạn \(AH = 6\sqrt 3 \).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(G\) lên C'M. Do A, G, M thẳng hàng và \(AM = 3GM\) nên \(d(A,(BCC'B')) = 3d(G,(BCC'B')) \Rightarrow AH = 3GK\).

Trong \(\Delta C'GM\) vuông cân tại \(G\): \(GK = \frac{{C'G \cdot GM}}{{\sqrt {C'{G^2} + G{M^2}} }} = \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }}\).

Ta có phương trình: \(AH = 3 \cdot \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 3  \Rightarrow GM = 2\sqrt 6 \).

Thay \(GM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\) vào, ta được: \(\frac{{x\sqrt 3 }}{6} = 2\sqrt 6  \Rightarrow x = 12\sqrt 2 \).

Suy ra chiều cao \(h = GM = 2\sqrt 6 \).

Diện tích đáy (hình thoi ABCD) bằng 2 lần diện tích \(\Delta ABC\):

\({S_{ABCD}} = 2 \cdot \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{(12\sqrt 2 )}^2}\sqrt 3 }}{2} = 144\sqrt 3 \).

Thể tích khối lăng trụ: \(V = {S_{ABCD}} \cdot h = 144\sqrt 3  \cdot 2\sqrt 6  = 288\sqrt {18}  = 864\sqrt 2 \).

Theo đề bài \(V = a\sqrt 2 \), ta suy ra \(a = 864\).