Trong ngày hội trại 26/03 vừa qua, chi đoàn lớp 12/1 trường THPT A tổ chức một gian hàng ẩm thực phục vụ thực khách với hai món chính là Trà đào và Nem chua rán. Để tăng doanh số, lớp thiết kế hai gói combo sau:

·        Combo “Năng lượng”: Giá 30 nghìn đồng, bao gồm 1 cốc trà đào và 1 đĩa nem chua rán.

·        Combo “Bùng nổ”: Giá 80 nghìn đồng, bao gồm 2 cốc trà đào và 3 đĩa nem chua rán.

Qua tính toán nguyên liệu chuẩn bị ban đầu, lớp chỉ có thể phục vụ tối đa 120 cốc trà đào và 150 đĩa nem chua rán. Giả sử sức mua của học sinh và thầy cô trong trường là rất lớn, lớp luôn bán hết các combo đã đóng gói. Số tiền lớn nhất (đơn vị: nghìn đồng) mà chi đoàn 12/1 có thể thu được từ việc bán hai loại combo trên là bao nhiêu?

Gọi các biến cố khi chuyển 2 bi từ hộp X sang hộp Y:

·         \[{A_1}\]: Chuyển 2 bi đen. \[P({A_1}) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{10}}{{45}} = \frac{2}{9}\]

·         \[{A_2}\]: Chuyển 1 bi đen, 1 bi trắng. \[P({A_2}) = \frac{{C_5^1 \cdot C_5^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{{25}}{{45}} = \frac{5}{9}\]

·        \[{A_3}\]: Chuyển 2 bi trắng. \[P({A_3}) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{10}}{{45}} = \frac{2}{9}\]

Sau khi chuyển, hộp Y có tổng cộng 14 + 2 = 16 viên bi.

Câu d)

Xác suất lấy được 2 viên bi trắng từ hộp X là: \[P({A_3}) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{10}}{{45}} = \frac{2}{9}\] => Phát biểu d) Sai

Câu b)

Gọi B là biến cố lấy được 3 bi đen từ hộp Y.

·         Nếu \[{A_1}\] xảy ra: Hộp Y có 8 đen, 8 trắng. \[P(B|{A_1}) = \frac{{C_8^3}}{{C_{16}^3}} = \frac{{56}}{{560}} = \frac{1}{{10}}\]

·         Nếu \[{A_2}\] xảy ra: Hộp Y có 7 đen, 9 trắng. \[P(B|{A_2}) = \frac{{C_7^3}}{{C_{16}^3}} = \frac{{35}}{{560}} = \frac{1}{{16}}\]

·         Nếu \[{A_3}\] xảy ra: Hộp Y có 6 đen, 10 trắng. \[P(B|{A_3}) = \frac{{C_6^3}}{{C_{16}^3}} = \frac{{20}}{{560}} = \frac{1}{{28}}\]

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:

\[P(B) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{{10}} + \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{{16}} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{{28}} = \frac{1}{{45}} + \frac{5}{{144}} + \frac{1}{{126}} = \frac{{109}}{{1680}}\] => Phát biểu b) Đúng.

Câu c)

Gọi C là biến cố lấy được 2 bi đen, 1 bi trắng từ hộp Y.

·         Nếu \[{A_1}\] xảy ra (Y có 8Đ, 8T): \[P(C|{A_1}) = \frac{{C_8^2 \cdot C_8^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{{28 \cdot 8}}{{560}} = \frac{{224}}{{560}} = \frac{2}{5}\]

·         Nếu \[{A_2}\] xảy ra (Y có 7Đ, 9T): \[P(C|{A_2}) = \frac{{C_7^2 \cdot C_9^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{{21 \cdot 9}}{{560}} = \frac{{189}}{{560}}\]

Nếu \[{A_3}\] xảy ra (Y có 6Đ, 10T): \[P(C|{A_3}) = \frac{{C_6^2 \cdot C_{10}^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{{15 \cdot 10}}{{560}} = \frac{{150}}{{560}} = \frac{{15}}{{56}}\]

Xác suất đầy đủ của C:

\[P(C) = \frac{2}{9} \cdot \frac{{224}}{{560}} + \frac{5}{9} \cdot \frac{{189}}{{560}} + \frac{2}{9} \cdot \frac{{150}}{{560}} = \frac{{448 + 945 + 300}}{{9 \cdot 560}} = \frac{{1693}}{{5040}}\]=> Phát biểu c) Đúng.

Câu a)

Gọi D là biến cố: “H lấy được 2 viên bi đen trong hộp Y là 2 bi đen từ hộp X chuyển qua”.

\[P\left( {CD} \right) = P\left( {{A_1}} \right).P(BC|{A_1}) = \frac{2}{9}.\frac{{C_2^2 \cdot C_8^1}}{{C_{16}^3}} = \frac{1}{{315}}\]

\[P(D|C) = \frac{{P\left( {CD} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{1}{{315}}}}{{\frac{{1693}}{{5040}}}} = \frac{{16}}{{1693}}\].

 => Phát biểu a) Sai.

a) Sai

Từ phương trình mặt cầu, ta xác định được tâm của mặt cầu là \(I\left( {2\,;\, - 1\,;\, - 1} \right)\) và \(R = \sqrt 6 \).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( { - 2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MI}  = \left( {4\,;\,0\,;\, - 1} \right)\); \(\left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right] = \left( { - 3\,;\, - 6\,;\, - 12} \right)\).

Khoảng cách từ \(I\) đến \(d\) là \({\rm{d}}\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\vec u} \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).

b) Đúng

Để thời gian con kiến bò là ngắn nhất, quãng đường đi từ \(A\) đến \(B\) trên bề mặt cục đá phải là cung nhỏ \(AB\) của đường tròn lớn đi qua \(A\) và \(B\).

Bán kính đường tròn lớn là bán kính mặt cầu: \[R = \sqrt 6 \,{\rm{dm}} = 10\sqrt 6 \,{\rm{cm}}\].

Góc ở tâm chắn cung nhỏ \(AB\) tính bằng radian là; \(\alpha  = \arccos \left( { - \frac{1}{9}} \right) \approx 1,682\) (rad).

Độ dài quãng đường ngắn nhất là độ dài cung \(AB\) là:

\(S = R\,.\,\alpha  = 10\sqrt 6 \,.\,1,682 \approx 41,204{\rm{ (cm)}}\)

Thời gian ngắn nhất để con kiến hoàn thành chuyến đi là:

\(t = \frac{S}{v} = \frac{{41,204}}{2} \approx 21{\rm{ (gi\^a y)}}\).

c) Đúng

Đường thẳng \(d\) là giao tuyến của mặt sàn và tấm ván.

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(d\) hay \(H \in d\).

Mà \(A\), \(B\) là các tiếp điểm của tấm ván và mặt sàn với mặt cầu.

\( \Rightarrow HA \bot IA\), \(HB \bot IB\).

Do đó, \(HA\), \(HB\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(H\).

\( \Rightarrow \widehat {AIH} = \widehat {BIH}\) hay \(\widehat {AIB} = 2\widehat {AIH}\).

Ta có \(IH = d\left( {I,d} \right) = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).

Xét tam giác \(AIH\) vuông tại \(A\), ta có: \(\cos \widehat {AIH} = \frac{{IA}}{{IH}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\frac{{3\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{2}{3}\).

\( \Rightarrow \cos \widehat {AIB} = \cos \left( {2\widehat {AIH}} \right) = 2{\cos ^2}\widehat {AIH} - 1 = 2\,.\,{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - 1 =  - \frac{1}{9}\).

Vậy \(a =  - 1\), \(b = 9 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {9^2} = 82\).

d) Đúng