Có hai hộp đựng bi: Hộp I đựng \(10\) viên bi gồm \(4\) viên màu đỏ và \(6\) viên màu xanh. Hộp II đựng \(7\) viên bi gồm \(2\) viên màu đỏ và \(5\) viên màu xanh. Lấy ngẫu nhiên \(2\) viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau khi trộn đều, người ta lấy ngẫu nhiên \(1\) viên bi từ hộp II ra. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp II là bi màu đỏ. Tính xác suất để \(2\) viên bi đã chuyển từ hộp I sang hộp II có màu khác nhau.

Xét mệnh đề a)

Điểm \(A\left( {4;0} \right)\)và \(D\left( {4;4} \right)\). Điểm \({I_2}\) là trung điểm \(AD \Rightarrow {I_2}\left( {4;2} \right)\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {0;2} \right)\) có bán kính \(R = 2\)là : \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\left( * \right)\)

Từ \(\left( * \right) \Rightarrow y - 2 =  \pm \sqrt {4 - {x^2}} \)

Nhìn vào hình vẽ, cung \(\left( {{C_1}} \right)\)nằm dưới tâm \({I_1}\)(giá trị \(y \le 2\)) nên ta chọn: \(y = 2 - \sqrt {4 - {x^2}} \) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {4;2} \right)\) có bán kính \(R = 2\) là : \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\left( {**} \right)\)

Từ \[\left( {**} \right) \Rightarrow y - 2 =  \pm \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \]

Nhìn vào hình vẽ, cung \(\left( {{C_2}} \right)\) nằm trên tâm \({I_2}\)(giá trị \(y \ge 2\)) nên ta chọn: \(y = 2 + \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} \)

Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) : \[{S_{\left( H \right)}} = \int\limits_0^2 {\left| {2 - \sqrt {4 - {x^2}} } \right|} {\rm{d}}x + \int\limits_2^4 {\left| {2 + \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } \right|} {\rm{d}}x = 8\](cm2) nên mệnh đề c) đúng

Xét mệnh đề d)

Thể tích hình phẳng \(\left( H \right)\)khi quay quanh trục \(AB\):

\({V_{\left( H \right)}} = \pi .\left[ {{{\int\limits_0^2 {\left( {2 - \sqrt {4 - {x^2}} } \right)} }^2}{\rm{d}}x + {{\int\limits_2^4 {\left( {2 + \sqrt {4 - {{\left( {x - 4} \right)}^2}} } \right)} }^2}{\rm{d}}x} \right] \approx 83,8\)(cm3) nên mệnh đề d) sai

Xét mệnh đề a)

Phương trình mặt phẳng chứa bức tường bên phải là \(y = 7\) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Tọa độ đèn là \(L\left( {4;0;5} \right)\) và chân cọc \(H\left( {1;6;0} \right)\) nên đỉnh cọc có tọa độ \(T\left( {1;6;h} \right)\)

Vectơ chỉ phương của tia sáng \(LT\) là \(\overrightarrow {{u_{LT}}}  = \left( { - 3;6;h - 5} \right)\)

Phương trình tia sáng \(LT\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 3t\\y = 6t\\z = 5 + \left( {h - 5} \right)t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)

Giao điểm với tường phải có phương trình \(y = 7\) nên \(6t = 7 \Leftrightarrow t = \frac{7}{6} \Rightarrow z = \frac{{7h - 5}}{6}\) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Đỉnh cọc lúc này có tọa độ \(T'\left( {1;6;2} \right)\) nên vectơ chỉ phương của tia sáng là \[\overrightarrow {{u_{LT'}}}  = \left( { - 1;2; - 1} \right)\]

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia sáng và mặt sàn, khi đó: \(\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_{LT'}}} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{LT'}}} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\) nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Để bóng in trên bức tường thì bóng phải nằm trong phạm vi chiều cao của tường nên \(0 \le z \le 3\)

Thay vào ta được bất phương trình: \(0 \le \frac{{7h - 5}}{6} \le 3 \Leftrightarrow \frac{5}{7} \le h \le \frac{{23}}{7}\) nên \(h \in \left[ {\frac{5}{7};\frac{{23}}{7}} \right]\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{5}{7}\\b = \frac{{23}}{7}\end{array} \right.\) suy ra \(a + b = \frac{5}{7} + \frac{{23}}{7} = \frac{{28}}{7} = 4\) nên mệnh đề d) đúng