Công ty Diêm Thống Nhất cần thiết kế một mẫu hộp diêm kỷ niệm có chiều dài cố định là \(5\)cm và thể tích chứa là \(15\)cm³. Gọi chiều rộng hộp là \(x\)(cm) và chiều cao là \(y\)(cm). Cấu tạo hộp diêm tham khảo hình vẽ. Khay nắp được gấp từ một tấm bìa cứng. Tấm bìa này bị cắt bỏ 4 hình vuông cạnh \(y\) ở các góc. Vỏ bao ngoài là một tấm bìa cuộn lại thành hình hộp rỗng hai đầu, gồm 2 mặt lớn (in logo Thống Nhất) và 2 mặt bên (phủ hóa chất ma sát để đánh lửa). Để tối ưu hóa chi phí sản xuất hàng loạt, bộ phận thiết kế đưa ra định mức giá thành tính trên cùng một đơn vị diện tích như sau: chi phí vật liệu làm bìa khay nắp trong là \(C\)(VNĐ/cm²). Phần bìa mặt lớn của vỏ ngoài yêu cầu in màu logo chất lượng cao nên chi phí tốn kém hơn bìa khay trong 10%. Phần bìa mặt bên của vỏ ngoài (quét photpho đỏ) là tốn kém nhất, có chi phí gấp 3 lần bìa khay trong. Tìm giá trị của \(x\) để tổng chi phí vật liệu cho mỗi hộp diêm là thấp nhất?

    

Xét mệnh đề a)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 8; - 2} \right)\)và \(\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 4;0} \right).\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \({\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 8; - 4;8} \right) = - 4\left( {2;1; - 2} \right)\) nên mệnh đề a) đúng
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(C\left( {0;4;0} \right)\) là:\(\left( {ABC} \right):\,\,2x + y - 2z - 4 = 0\)
Xét mệnh đề b)
Vì \(SC \bot \left( {ABC} \right)\) nên đường thẳng \(SC\)nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} = \left( {2;1; - 2} \right)\)làm vectơ chỉ phương
Tọa độ điểm \(S\)có dạng: \(S\left( {2k;4 + k; - 2k} \right)\)(với \(k\)là tham số)
Độ dài \(SC = 15 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2k} \right)}^2} + {k^2} + {{\left( { - 2k} \right)}^2}} = 15 \Leftrightarrow 3\left| k \right| = 15 \Leftrightarrow k = \pm 5.\)
Xét vị trí của\(S\)và gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) đối với mặt phẳng\(\left( {ABC} \right)\):
Thay\(O\left( {0;0;0} \right)\) vào \(\left( {ABC} \right)\)thì ta có\(f\left( {0;0;0} \right) = - 4 < 0\)
Vậy để \(S\)và \(O\)nằm khác phía, ta cần tính\(f\left( S \right) > 0\)
Với \(k = 5 \Rightarrow S\left( {10;9; - 10} \right)\) ta có \(f\left( S \right) = 45 > 0\)(thỏa mãn)
Với \(k = - 5 \Rightarrow S\left( { - 10; - 1;10} \right)\) ta có \(f\left( S \right) = - 45 < 0\)(loại)
Vậy \[S\left( {10;{\rm{ }}9;{\rm{ }} - 10} \right)\] thay vào \(x + y + z = 9\) ta thấy \(10 + 9 + \left( { - 10} \right) = 9\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Diện tích tam giác đáy \(ABC:\,{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {8^2}} = \frac{1}{2}.12 = 6.\)
Thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SC = \frac{1}{3}.6.15 = 30\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Tia \(SC\) bắt đầu từ \(S\)qua \(C\). Tia đối của tia \(SC\)cũng bắt đầu từ \(S\)nhưng đi hướng ngược lại.
Vì \(T\) thuộc tia đối của \(SC\) và \(ST = 22\), vectơ \(\overrightarrow {ST} \)cùng hướng với \(\overrightarrow {CS} = \left( {10;5; - 10} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {ST} = \frac{{22}}{{15}}\overrightarrow {CS} = \left( {\frac{{44}}{3};\frac{{22}}{3}; - \frac{{44}}{3}} \right) \Rightarrow T\left( {\frac{{74}}{3};\frac{{49}}{3}; - \frac{{74}}{3}} \right).\)
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(B\left( {0;0; - 2} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 4; - 1} \right)\)
\(H \in AB \Rightarrow H\left( {t; - 4t; - 2 - t} \right)\) thì ta có \(\overrightarrow {TH} = \left( {t - \frac{{74}}{3}; - 4t - \frac{{49}}{3}; - t + \frac{{68}}{3}} \right)\)
Vì \(TH \bot AB\) nên \(\overrightarrow {TH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow \left( {t - \frac{{74}}{3}} \right) - 4\left( { - 4t - \frac{{49}}{3}} \right) - 1\left( { - t + \frac{{68}}{3}} \right) = 0 \Rightarrow 18t + 18 = 0 \Rightarrow t = - 1\)
Tọa độ \(H\left( { - 1;4; - 1} \right)\).
Biểu thức \(4a + 2b + 3c = 4.\left( { - 1} \right) + 2.4 + 3.\left( { - 1} \right) = 1 > 0\) nên mệnh đề d) đúng

Ta có: \({V_{S.ABCD}} = 2.{V_{S.ADB}} = 2.\frac{1}{3}.SH.{S_{ADB}}\)
Tứ giác \(ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh bằng \(2\) và góc \(\widehat {ABC} = 120^\circ \) nên tam giác \(ADB\) là tam giác đều cạnh bằng 2
Xét khối chóp \(B.DSA\) có \(BA = BS = BD = 2\) suy ra khối chóp \(B.DSA\) là khối chóp có các cạnh bên bằng nhau nên chân đường cao kẻ từ \(B\) là điểm \(K\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta DSA\).
Mà \(\left( {BAD} \right) \bot \left( {DSA} \right)\) và \(\Delta BDA\) đều nên \(BK \bot AD\) tại điểm \(K\)là trung điểm của \(AD\).
Từ đó ta thấy rằng \(K\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Delta DSA\) và là trung điểm của \(AD\) nên tam giác \(\Delta DSA\) vuông tại \(S\).
Suy ra \(SA = \cos \widehat {SAD}.AD = \cos 60^\circ .2 = 1\) và \(SH = \sin \widehat {SAH}.SA = \sin 60^\circ .1 = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy \({V_{S.ABCD}} = 2.{V_{S.ADB}} = 2.\frac{1}{3}.SH.{S_{ADB}} = 2.\frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.{\left( 2 \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 1\)