Có \(10\) em học sinh xuất sắc gồm \(4\) học sinh nam và \(6\) học sinh nữ được mời dự tiệc vinh danh và được xếp ngồi ngẫu nhiên vào một bàn tròn gồm \(10\) ghế. Gọi \(P\) là xác suất để cách xếp thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

-         Mỗi bạn nam đều được ngồi kẹp giữa hai bạn nữ

-         Không có bất kỳ 3 bạn nữ nào ngồi kề nhau liên tiếp

Giả sử \(P\) được viết dưới dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) với \(a,\,b \in {\mathbb{N}^*}\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + b\)(Biết rằng các cách sắp xếp có thể chuyển hóa cho nhau bằng phép quay bàn tròn được coi là trùng nhau)

Xét mệnh đề a)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 8; - 2} \right)\)và \(\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 4;0} \right).\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \({\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 8; - 4;8} \right) = - 4\left( {2;1; - 2} \right)\) nên mệnh đề a) đúng
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(C\left( {0;4;0} \right)\) là:\(\left( {ABC} \right):\,\,2x + y - 2z - 4 = 0\)
Xét mệnh đề b)
Vì \(SC \bot \left( {ABC} \right)\) nên đường thẳng \(SC\)nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( {ABC} \right)}}} = \left( {2;1; - 2} \right)\)làm vectơ chỉ phương
Tọa độ điểm \(S\)có dạng: \(S\left( {2k;4 + k; - 2k} \right)\)(với \(k\)là tham số)
Độ dài \(SC = 15 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2k} \right)}^2} + {k^2} + {{\left( { - 2k} \right)}^2}} = 15 \Leftrightarrow 3\left| k \right| = 15 \Leftrightarrow k = \pm 5.\)
Xét vị trí của\(S\)và gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) đối với mặt phẳng\(\left( {ABC} \right)\):
Thay\(O\left( {0;0;0} \right)\) vào \(\left( {ABC} \right)\)thì ta có\(f\left( {0;0;0} \right) = - 4 < 0\)
Vậy để \(S\)và \(O\)nằm khác phía, ta cần tính\(f\left( S \right) > 0\)
Với \(k = 5 \Rightarrow S\left( {10;9; - 10} \right)\) ta có \(f\left( S \right) = 45 > 0\)(thỏa mãn)
Với \(k = - 5 \Rightarrow S\left( { - 10; - 1;10} \right)\) ta có \(f\left( S \right) = - 45 < 0\)(loại)
Vậy \[S\left( {10;{\rm{ }}9;{\rm{ }} - 10} \right)\] thay vào \(x + y + z = 9\) ta thấy \(10 + 9 + \left( { - 10} \right) = 9\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Diện tích tam giác đáy \(ABC:\,{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {8^2}} = \frac{1}{2}.12 = 6.\)
Thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SC = \frac{1}{3}.6.15 = 30\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Tia \(SC\) bắt đầu từ \(S\)qua \(C\). Tia đối của tia \(SC\)cũng bắt đầu từ \(S\)nhưng đi hướng ngược lại.
Vì \(T\) thuộc tia đối của \(SC\) và \(ST = 22\), vectơ \(\overrightarrow {ST} \)cùng hướng với \(\overrightarrow {CS} = \left( {10;5; - 10} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {ST} = \frac{{22}}{{15}}\overrightarrow {CS} = \left( {\frac{{44}}{3};\frac{{22}}{3}; - \frac{{44}}{3}} \right) \Rightarrow T\left( {\frac{{74}}{3};\frac{{49}}{3}; - \frac{{74}}{3}} \right).\)
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(B\left( {0;0; - 2} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 4; - 1} \right)\)
\(H \in AB \Rightarrow H\left( {t; - 4t; - 2 - t} \right)\) thì ta có \(\overrightarrow {TH} = \left( {t - \frac{{74}}{3}; - 4t - \frac{{49}}{3}; - t + \frac{{68}}{3}} \right)\)
Vì \(TH \bot AB\) nên \(\overrightarrow {TH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow \left( {t - \frac{{74}}{3}} \right) - 4\left( { - 4t - \frac{{49}}{3}} \right) - 1\left( { - t + \frac{{68}}{3}} \right) = 0 \Rightarrow 18t + 18 = 0 \Rightarrow t = - 1\)
Tọa độ \(H\left( { - 1;4; - 1} \right)\).
Biểu thức \(4a + 2b + 3c = 4.\left( { - 1} \right) + 2.4 + 3.\left( { - 1} \right) = 1 > 0\) nên mệnh đề d) đúng

Thể tích: \(V = 5xy = 15 \Rightarrow xy = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{x}\)
Khay nắp trong được gấp từ một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước\(\left( {x + 2y} \right).\left( {5 + 2y} \right)\) sau khi cắt bỏ 4 hình vuông cạnh\(y\)ở góc
Diện tích tấm bìa khay là: \({S_1} = \left( {x + 2y} \right).\left( {5 + 2y} \right) = 5x + 2xy + 10y + 4{y^2} = 5x + 10y + 4{y^2} + 6\)
Chi phí khay: \({T_1} = C.{S_1} = C\left( {5x + 10y + 4{y^2} + 6} \right)\)
Vỏ bao ngoài bao gồm 2 mặt lớn và 2 mặt bên, mỗi mặt có chiều dài là 5 cm.
Hai mặt lớn in logo có iện tích \({S_L} = 2.5x = 10x\); chi phí đơn vị là \(1,1C\) nên chi phí tổng cho hai mặt lớn là \[{T_L} = 11Cx\]
Hai mặt bên quét phốt pho có diện tích \({S_B} = 2.5y = 10y\) ; chi phí đơn vị là \(3C\) nên chi phí tổng cho hai mặt bên: \({T_B} = 30Cy\)
Tổng chi phí vật liệu \(T\)là:
\(T = {T_1} + {T_L} + {T_B} = C\left( {5x + 10y + 4{y^2} + 6 + 11x + 30y} \right) = C\left( {16x + 40y + 4{y^2} + 6} \right)\)
Thay \(y = \frac{3}{x}\)vào biểu thức: \(f\left( x \right) = 16x + 40\left( {\frac{3}{x}} \right) + 4{\left( {\frac{3}{x}} \right)^2} + 6\)
Để tìm giá trị \(x\)làm cho chi phí thấp nhất, ta dùng \[{\left. {\frac{d}{{dX}}\left( {f\left( x \right)} \right)} \right|_{x = x}}\]Shift solve suy ra
Vậy giá trị của \(x = 3\)thì tổng chi phí vật liệu là thấp nhất.