Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 6 = 0\).

Đặt \[CD = x\] (km) \[\left( {0 \le x \le 8} \right)\], khi đó \[AD = \sqrt {9 + {x^2}} \] (km).

Giả sử để đi từ \[A\] đến \[B\] anh Hưng bơi thuyền từ \[A\] tới \[D\] sau đó chạy đến \[B\].

Thời gian bơi thuyền từ \[A\] tới \[D\] là: \[\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6}\] (giờ), thời gian đi từ \[D\] tới \[B\] là: \[\frac{{8 - x}}{8}\] (giờ).

Tổng thời gian là: \[f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\]; \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8}\]; \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }} \in \left[ {0;8} \right]\].

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;\,8} \right]\):

Từ bảng biến thiên, ta có \[\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {0;8} \right]} f\left( x \right) = 1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8}\].

Vậy thời gian nhanh nhất để anh Hưng đi từ \[A\] đến \[B\] là \[1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8} \approx 1,33\] (giờ).

Đáp án: 1,33.

Có 45 quả cầu nên số lượng quả cầu được đánh số chẵn là 22 và số lượng quả cầu đánh số lẻ là 23.

1. Đúng. Số cách lấy được cả 3 quả cầu đánh số chẵn là \(C_{22}^3 = 1540\).

2. Sai. Số cách lấy 3 quả tùy ý là \(n\left( \Omega \right) = C_{45}^3 = 14190\).

Ta chia các quả cầu thành các nhóm \({S_0};{S_1};{S_2};{S_3}\) là các nhóm chứa các quả cầu lần lượt có các số như sau:

\({S_0}\) gồm 5 số chia hết cho 8;

\({S_1}\) gồm 11 số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4;

\({S_2}\) gồm 6 số chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8;

\({S_3}\) gồm 23 số lẻ.

Gọi \(A\) là biến cố: “tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8”.

Ta đi tính \(n\left( {\overline A } \right)\).

Để tích 3 số không chia hết cho 8 thì xảy ra các trường hợp:

3 số thuộc \({S_3}\).

1 số thuộc \({S_1}\) và 2 số thuộc \({S_3}\).

1 số thuộc \({S_2}\) và 2 số thuộc \({S_3}\).

2 số thuộc \({S_1}\) và 1 số thuộc \({S_3}\).

Khi đó, \(n\left( {\overline A } \right) = C_{23}^3 + C_{23}^2\left( {C_{11}^1 + C_6^1} \right) + C_{23}^1C_{11}^2 = 1771 + 4301 + 1265 = 7337\).

Suy ra \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \frac{{623}}{{1290}}\).

3. Sai. Để chọn được 3 số có tổng là số lẻ thì xảy ra hai trường hợp:

3 số đều lẻ

1 số lẻ và 2 số chẵn

Gọi \(B\) là biến cố: “tổng 3 số ghi trên 3 quả cầu là số lẻ”.

Ta có \(n\left( B \right) = C_{23}^3 + C_{23}^1C_{22}^2 = 7084\). Vậy \(P\left( B \right) = \frac{{7084}}{{14190}} = \frac{{322}}{{645}}\).

4. Đúng. Ta chia các quả cầu thành các nhóm \({C_0};{C_1};{C_2};{C_3}\) là các nhóm chứa các quả cầu lần lượt có các số dư như sau:

\({C_0}\) gồm 11 số chia hết cho 4.

\({C_1}\) gồm 12 số chia hết cho 4 dư 1.

\({C_2}\) gồm 11 số chia hết cho 4 dư 2.

\({C_3}\) gồm 11 số chia hết cho 4 dư 3.

Gọi \(C\) là biến cố: “tổng 3 số ghi trên 3 quả cầu là số chia hết cho 4”.

Xảy ra các trường hợp sau:

Cả 3 số đều thuộc \({C_0}\) có \(C_{11}^3 = 165\) cách chọn.

1 số thuộc \({C_0}\) và 2 số thuộc \({C_2}\) có \(C_{11}^1 \cdot C_{11}^2 = 605\) cách chọn.

1 số thuộc \({C_0}\), 1 số thuộc \({C_1}\) và 1 số thuộc \({C_3}\) có \(11 \times 12 \times 11 = 1452\) cách chọn.

1 số thuộc \({C_2}\) và 2 số thuộc \({C_3}\) có \(C_{11}^1 \cdot C_{11}^2 = 605\) cách chọn.

2 số thuộc \({C_1}\) và 1 số thuộc \({C_2}\) có \(C_{12}^2 \cdot C_{11}^1 = 726\) cách chọn.

Vậy \(n\left( C \right) = 3553 \Rightarrow P\left( C \right) = \frac{{3553}}{{C_{45}^3}} = \frac{{323}}{{1290}}\).