Bảng sau tóm tắt kết quả khảo sát về sở thích đọc sách và xem phim của 100 học sinh thuộc trường THPT A.

	Thích xem phim	Không thích xem phim
Thích đọc sách	45	15
Không thích đọc sách	25	15

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong các học sinh trên.

Đặt \[CD = x\] (km) \[\left( {0 \le x \le 8} \right)\], khi đó \[AD = \sqrt {9 + {x^2}} \] (km).

Giả sử để đi từ \[A\] đến \[B\] anh Hưng bơi thuyền từ \[A\] tới \[D\] sau đó chạy đến \[B\].

Thời gian bơi thuyền từ \[A\] tới \[D\] là: \[\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6}\] (giờ), thời gian đi từ \[D\] tới \[B\] là: \[\frac{{8 - x}}{8}\] (giờ).

Tổng thời gian là: \[f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\]; \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8}\]; \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }} \in \left[ {0;8} \right]\].

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;\,8} \right]\):

Từ bảng biến thiên, ta có \[\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {0;8} \right]} f\left( x \right) = 1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8}\].

Vậy thời gian nhanh nhất để anh Hưng đi từ \[A\] đến \[B\] là \[1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8} \approx 1,33\] (giờ).

Đáp án: 1,33.

Có 45 quả cầu nên số lượng quả cầu được đánh số chẵn là 22 và số lượng quả cầu đánh số lẻ là 23.

1. Đúng. Số cách lấy được cả 3 quả cầu đánh số chẵn là \(C_{22}^3 = 1540\).

2. Sai. Số cách lấy 3 quả tùy ý là \(n\left( \Omega \right) = C_{45}^3 = 14190\).

Ta chia các quả cầu thành các nhóm \({S_0};{S_1};{S_2};{S_3}\) là các nhóm chứa các quả cầu lần lượt có các số như sau:

\({S_0}\) gồm 5 số chia hết cho 8;

\({S_1}\) gồm 11 số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4;

\({S_2}\) gồm 6 số chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8;

\({S_3}\) gồm 23 số lẻ.

Gọi \(A\) là biến cố: “tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8”.

Ta đi tính \(n\left( {\overline A } \right)\).

Để tích 3 số không chia hết cho 8 thì xảy ra các trường hợp:

3 số thuộc \({S_3}\).

1 số thuộc \({S_1}\) và 2 số thuộc \({S_3}\).

1 số thuộc \({S_2}\) và 2 số thuộc \({S_3}\).

2 số thuộc \({S_1}\) và 1 số thuộc \({S_3}\).

Khi đó, \(n\left( {\overline A } \right) = C_{23}^3 + C_{23}^2\left( {C_{11}^1 + C_6^1} \right) + C_{23}^1C_{11}^2 = 1771 + 4301 + 1265 = 7337\).

Suy ra \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \frac{{623}}{{1290}}\).

3. Sai. Để chọn được 3 số có tổng là số lẻ thì xảy ra hai trường hợp:

3 số đều lẻ

1 số lẻ và 2 số chẵn

Gọi \(B\) là biến cố: “tổng 3 số ghi trên 3 quả cầu là số lẻ”.

Ta có \(n\left( B \right) = C_{23}^3 + C_{23}^1C_{22}^2 = 7084\). Vậy \(P\left( B \right) = \frac{{7084}}{{14190}} = \frac{{322}}{{645}}\).

4. Đúng. Ta chia các quả cầu thành các nhóm \({C_0};{C_1};{C_2};{C_3}\) là các nhóm chứa các quả cầu lần lượt có các số dư như sau:

\({C_0}\) gồm 11 số chia hết cho 4.

\({C_1}\) gồm 12 số chia hết cho 4 dư 1.

\({C_2}\) gồm 11 số chia hết cho 4 dư 2.

\({C_3}\) gồm 11 số chia hết cho 4 dư 3.

Gọi \(C\) là biến cố: “tổng 3 số ghi trên 3 quả cầu là số chia hết cho 4”.

Xảy ra các trường hợp sau:

Cả 3 số đều thuộc \({C_0}\) có \(C_{11}^3 = 165\) cách chọn.

1 số thuộc \({C_0}\) và 2 số thuộc \({C_2}\) có \(C_{11}^1 \cdot C_{11}^2 = 605\) cách chọn.

1 số thuộc \({C_0}\), 1 số thuộc \({C_1}\) và 1 số thuộc \({C_3}\) có \(11 \times 12 \times 11 = 1452\) cách chọn.

1 số thuộc \({C_2}\) và 2 số thuộc \({C_3}\) có \(C_{11}^1 \cdot C_{11}^2 = 605\) cách chọn.

2 số thuộc \({C_1}\) và 1 số thuộc \({C_2}\) có \(C_{12}^2 \cdot C_{11}^1 = 726\) cách chọn.

Vậy \(n\left( C \right) = 3553 \Rightarrow P\left( C \right) = \frac{{3553}}{{C_{45}^3}} = \frac{{323}}{{1290}}\).