Câu hỏi:

24/05/2026 35

Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A\left( {0; - 1;2} \right)$, $B\left( {2; - 3;0} \right)$, $C\left( { - 2;1;1} \right)$, $D\left( {0; - 1;3} \right)$. Gọi $\left( L \right)$ là tập hợp tất cả các điểm $M$ trong không gian thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MD} = 1$. Biết rằng quỹ tích điểm $M$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm ${I_1}$ và mặt cầu tâm ${I_2}$. Tính bình phương độ dài vectơ $\overrightarrow {{I_1}{I_2}} $.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề tham khảo Đánh giá năng lực Đại học Cần Thơ (V-SAT) năm 2026 - Đề số 1 !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án:

Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$ là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(0; - 1;2), B(2; - 3;0), C(- 2;1;1), D (0; - 1;3) (ảnh 1)

Ta có $\overrightarrow {AM} = \left( {x;y + 1;z - 2} \right)$, $\overrightarrow {BM} = \left( {x - 2;y + 3;z} \right)$, $\overrightarrow {CM} = \left( {x + 2;y - 1;z - 1} \right)$, $\overrightarrow {DM} = \left( {x;y + 1;z - 3} \right)$.

Từ giả thiết: $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MD} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 1\\\overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MD} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = 1\\\overrightarrow {CM} \cdot \overrightarrow {DM} = 1\end{array} \right.$

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 1} \right)\left( {y + 3} \right) + z\left( {z - 2} \right) = 1\\x\left( {x + 2} \right) + \left( {y + 1} \right)\left( {y - 1} \right) + \left( {z - 1} \right)\left( {z - 3} \right) = 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z + 2 = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4z + 1 = 0\end{array} \right.\].

Suy ra quỹ tích điểm $M$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm ${I_1}\left( {1; - 2;1} \right)$, bán kính ${R_1} = 2$ và mặt cầu tâm ${I_2}\left( { - 1;0;2} \right)$, bán kính ${R_2} = 2$. Suy ra bình phương độ dài vectơ $\overrightarrow {{I_1}{I_2}} $ bằng ${\left| {\overrightarrow {{I_1}{I_2}} } \right|^2} = 9$.

Đáp án: 9.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian $Oxyz$,cho đường thẳng $d:\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}$ và điểm $A\left( {2; - 5; - 6} \right)$.

1. Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương có tọa độ là

A. $\left( {3; - 1; - 4} \right)$.

2. Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$ có phương trình là

B. $\left( {3; - 1;4} \right)$.

3. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$. Tọa độ của $H$ là

C. $\left( {2;1; - 3} \right)$.

4. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất, khi đó phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ là

D. $2x + y - 3z + 17 = 0$.

E. $x + 4y - 3z - 17 = 0$.

F. $x + 4y + 2z + 9 = 0$.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án:

1 – C; 2 – E; 3 – A; 4 – F

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)$.

Mặt phẳng đi qua $A\left( {2; - 5; - 6} \right)$ và vuông góc với $d$ nhận $\overrightarrow n = \overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y + 5} \right) - 3\left( {z + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 3z - 17 = 0$.

$H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$$ \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 2 + t; - 1 - 3t} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AH} \cdot \,\overrightarrow u = 0 \Rightarrow 2\left( { - 1 + 2t} \right) + 3 + t - 3\left( {5 - 3t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {3; - 1; - 4} \right)$.

Theo yêu cầu bài toán thì mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $B\left( {1; - 2; - 1} \right) \in d$ và vuông góc với $AH$ nên có phương trình là $1\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y + 2} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 4y + 2z + 9 = 0$.

Đáp án: 1 – C; 2 – E; 3 – A; 4 – F.

Câu 2

Từ câu hỏi 16 đến 20, thí sinh ghép mỗi nội dung ở cột bên trái với một nội dung ở cột bên phải thành nội dung đúng.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

1. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực đại tại điểm ${x_{cd}} = $

A. $ - 3$.

2. Giá trị cực tiểu của hàm số $y = f\left( x \right)$ bằng

B. $0$.

3. Giá trị cực đại của hàm số $y = f\left( x \right)$ bằng

C. $1$.

4. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 1;\,1} \right]$ bằng

D. $ - 1$.

E. $ - 2$.

F. $3$.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án:

1 – B; 2 – E; 3 – D; 4 – A

Từ bảng biến thiên ta thấy:

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực đại tại điểm $x = 0$ và giá trị cực đại của hàm số $y = f\left( x \right)$ là $y = - 1$.

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại điểm $x = \pm 1$ và giá trị cực tiểu của hàm số $y = f\left( x \right)$ là $y = - 2$.

+ Trên đoạn $\left[ { - 1;\,1} \right]$, hàm số $y = f\left( x \right)$ có giá trị lớn nhất bằng $ - 1$ và giá trị nhỏ nhất bằng $ - 2$ nên tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;\,1} \right]$ bằng $ - 3$.

Đáp án: 1 – B; 2 – E; 3 – D; 4 – A.

Câu 3

Anh Hưng muốn di chuyển từ vị trí \[A\] đến điểm \[B\] càng nhanh càng tốt (như hình vẽ). Để di chuyển từ vị trí \[A\] đến điểm \[B\] anh Hưng có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến \[C\] và sau đó chạy đến \[B\], hay có thể chèo thuyền trực tiếp đến \[B\], hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm \[D\] nằm giữa \[B\] và \[C\] sau đó chạy đến \[B\]. Biết anh ấy có thể chèo thuyền với vận tốc \[6\,{\rm{km/h}}\], chạy với vận tốc \[8\,{\rm{km/h}}\],\[AC = 3{\rm{km}},\,\,BC = 8{\rm{km}}\] và vận tốc dòng nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An. Tìm khoảng thời gian nhanh nhất (đơn vị: giờ) để anh Hưng đến \[B\] (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

$Anh Hưng muốn di chuyển từ vị trí A đến điểm B càng nhanh càng tốt (như hình vẽ). Để di chuyển từ vị trí \[A\] đến điểm \[B\] anh Hưng có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông đ (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {1;\,1;\,0} \right)$, $B\left( {5;\, - 3;\,2} \right)$ và $C\left( {0;\,4;\, - 1} \right)$. Xét các điểm $M$ thay đổi trong không gian sao cho diện tích tam giác $ABM$ bằng $12\sqrt 2 $.

1. Đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng

A. $3$.

2. Đoạn thẳng $BC$ có độ dài bằng

B. $\sqrt 2 $.

3. Khoảng cách từ điểm $C$ tới đường thẳng $AB$ bằng

C. $6$.

4. Đoạn thẳng $MC$ có độ dài nhỏ nhất bằng

D. $3\sqrt 2 $.

E. $\sqrt {83} $.

F. $4\sqrt 2 $.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho \[y = f\left( x \right)\] là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

$Cho \[y = f\left( x \right)\] là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. 1. Số điểm cực trị của hàm số \[y = f\left( x \right)\] là A. $13$. 2. Hàm số \[y = f\left( x \right (ảnh 1)$

1. Số điểm cực trị của hàm số \[y = f\left( x \right)\] là

A. $13$.

2. Hàm số \[y = f\left( x \right)\] có giá trị nhỏ nhất bằng

B. $15$.

3. Xét hàm số $p\left( x \right)$ thoả mãn $p'\left( x \right) = f\left( x \right) + 3$. Số điểm cực trị của hàm số $p\left( x \right)$ là

C. $3$.

4. Số giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ { - 12{\mkern 1mu} ;12} \right]$ để hàm số $g\left( x \right) = \left| {2f\left( {x - 1} \right) + m} \right|$ có $5$ điểm cực trị là

D. $ - 6$.

E. $2$.

F. $ - 3$.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong hộp có 45 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 45. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó.

1. Số cách lấy được cả 3 quả cầu đánh số chẵn bằng 1540.

Đúng

Sai

2. Xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8 bằng $\frac{523}{1290}$ .

Đúng

Sai

3. Xác suất để tổng 3 số ghi trên 3 quả cầu là số lẻ bằng $\frac{1}{2}$ .

Đúng

Sai

4. Xác suất để tổng 3 số ghi trên 3 quả cầu là số chia hết cho 4 bằng

\frac{323}{1290}

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Từ câu hỏi 10 đến 15, thí sinh chọn phương án đúng trong 4 phương án A, B, C, D đã cho.

Tốc độ bơm nước vào bồn tại thời điểm phút thứ 5 là bao nhiêu?

A. $100$ lít/phút.

B. $150$ lít/phút.

C. $50$ lít/phút.

D. $200$ lít/phút.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

1. Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương có tọa độ là	A. \(\left( {3; - 1; - 4} \right)\).
2. Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\) có phương trình là	B. \(\left( {3; - 1;4} \right)\).
3. Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(d\). Tọa độ của \(H\) là	C. \(\left( {2;1; - 3} \right)\).
4. Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\) sao cho khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất, khi đó phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là	D. \(2x + y - 3z + 17 = 0\).
	E. \(x + 4y - 3z - 17 = 0\).
	F. \(x + 4y + 2z + 9 = 0\).

1. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm \({x_{cd}} = \)	A. \( - 3\).
2. Giá trị cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng	B. \(0\).
3. Giá trị cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng	C. \(1\).
4. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;\,1} \right]\) bằng	D. \( - 1\).
	E. \( - 2\).
	F. \(3\).

1. Đoạn thẳng \(AB\) có độ dài bằng	A. \(3\).
2. Đoạn thẳng \(BC\) có độ dài bằng	B. \(\sqrt 2 \).
3. Khoảng cách từ điểm \(C\) tới đường thẳng \(AB\) bằng	C. \(6\).
4. Đoạn thẳng \(MC\) có độ dài nhỏ nhất bằng	D. \(3\sqrt 2 \).
	E. \(\sqrt {83} \).
	F. \(4\sqrt 2 \).

1. Số điểm cực trị của hàm số \[y = f\left( x \right)\] là	A. \(13\).
2. Hàm số \[y = f\left( x \right)\] có giá trị nhỏ nhất bằng	B. \(15\).
3. Xét hàm số \(p\left( x \right)\) thoả mãn \(p'\left( x \right) = f\left( x \right) + 3\). Số điểm cực trị của hàm số \(p\left( x \right)\) là	C. \(3\).
4. Số giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 12{\mkern 1mu} ;12} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = \left\| {2f\left( {x - 1} \right) + m} \right\|\) có \(5\) điểm cực trị là	D. \( - 6\).
	E. \(2\).
	F. \( - 3\).

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Toán

Toán

Toán

Toán

Ôn vào 6

Trong hộp có 45 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 45. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó.

Từ câu hỏi 10 đến 15, thí sinh chọn phương án đúng trong 4 phương án A, B, C, D đã cho.

Tốc độ bơm nước vào bồn tại thời điểm phút thứ 5 là bao nhiêu?

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Toán

Toán

Toán

Toán

Ôn vào 6

Trong hộp có 45 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 45. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó.

Từ câu hỏi 10 đến 15, thí sinh chọn phương án đúng trong 4 phương án A, B, C, D đã cho. Tốc độ bơm nước vào bồn tại thời điểm phút thứ 5 là bao nhiêu?

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Từ câu hỏi 10 đến 15, thí sinh chọn phương án đúng trong 4 phương án A, B, C, D đã cho.

Tốc độ bơm nước vào bồn tại thời điểm phút thứ 5 là bao nhiêu?