Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình dưới đây:

1. Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là	A. \(1\).
2. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giá trị cực đại bằng	B. \(2\).
3. Đồ thị hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{x - 4}}{{f\left( x \right) - 5}}\) có số đường tiệm cận là	C. \(3\).
4. Giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {4x - {x^2}} \right) + \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x + \frac{1}{3}\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) bằng	D. \(5\).
	E. \(7\).
	F. \(12\).

Hàm số đã cho có hai điểm cực trị tại \(x = 0\) và \(x = 4.\) Giá trị cực đại của hàm số là \(y = 5\).

Xét hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{x - 4}}{{f\left( x \right) - 5}}\).

Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình \(f\left( x \right) = 5\) có một nghiệm \(x = 4\) và một nghiệm \(x = a < 0.\) Nhận thấy rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{{x - 4}}{{f\left( x \right) - 5}} = + \infty \) và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{x - 4}}{{f\left( x \right) - 5}} = + \infty \]. Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng.

Ta cũng có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 4}}{{f\left( x \right) - 5}} = 0\), do tử số là đa thức bậc nhất trong khi mẫu số là đa thức bậc ba. Vậy đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận ngang.

Tóm lại, đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận.

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {4x - {x^2}} \right) + \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x + \frac{1}{3}\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\).

Ta có

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = \left( {4 - 2x} \right)f'\left( {4x - {x^2}} \right) + {x^2} - 6x + 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\left( {2 - x} \right)f'\left( {4x - {x^2}} \right) + \left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {2 - x} \right)\left[ {2f'\left( {4x - {x^2}} \right) - \left( {x - 4} \right)} \right]\end{array}\)

Xét hàm số \(u\left( x \right) = 4x - {x^2}\), trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) có \(3 \le u\left( x \right) \le 4\) suy ra \(f'\left( {u\left( x \right)} \right) \ge 0\), hơn nữa \(x - 4 < 0\) với \(x \in \left[ {1;3} \right]\). Vậy nên \(2f'\left( {4x - {x^2}} \right) - \left( {x - 4} \right) \ge 0,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\), dấu xảy ra khi \(x = 4.\)

Trên \(\left[ {1;3} \right]\), phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có một nghiệm \(x = 2.\)

Có

\(\begin{array}{l}g\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) + \frac{{17}}{3}\\g\left( 3 \right) = f\left( 3 \right) + \frac{{19}}{3}\\g\left( 2 \right) = f\left( 4 \right) + 7 = 12\end{array}\)

Do \(f\left( 3 \right) < f\left( 4 \right)\) và \(\frac{{17}}{3} < \frac{{19}}{3} < 7\) nên giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) bằng 12.

Đáp án: 1 – B; 2 – D; 3 – C; 4 – F.