Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí \(A\) và \(B\) cách nhau \[4\,{\rm{km}}\]. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí \(C\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\), cách trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) một khoảng \[4\,{\rm{km}}\]. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước \(C\) đến một vị trí \[I\] nằm giữa đoạn thẳng \(MC\) sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy \(A\) và \(B\) (hình vẽ). Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Đáp án: _____

1. Sai. Gọi \(A\) là biến cố “Người đó có hút thuốc lá”.

Gọi \(B\) là biến cố “Người đó bị ung thư phổi”.

Ta có xác suất người đó hút thuốc lá \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{1124 + 1126}}{{10000}} = \frac{{2250}}{{10000}} = \frac{9}{{40}} = 22,5\% \).

2. Đúng. Số người bị ung thư phổi là \(n\left( B \right) = 1124 + 276 = 1400\).

Ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{{1124}}{{1400}} \approx 80,29\% > 80\% \).

3. Đúng. Ta có \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{1400}}{{10000}} = 14\% \).

4. Đúng. Ta tính \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {BA} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)\( = \frac{{1124}}{{2250}} = \frac{{562}}{{1125}}\).

Tính \(P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = \frac{{P\left( {B\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}}\)\( = \frac{{276}}{{7750}}\).

Vậy \(\frac{{P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{562}}{{1125}}:\frac{{276}}{{7750}} \approx 14\).

1. Đúng. \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BC \bot AB\).

\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(BC \bot SA\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

2. Sai. Áp dụng công thức \(V = \frac{1}{3} \cdot {S_d} \cdot h\),

Trong đó: \({S_d}\) là diện tích hình chữ nhật \(ABCD\),

\(h\) là chiều cao của khối chóp \(S.ABCD\).

Ta có \({S_d} = a \cdot 2a = 2{a^2}\).

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA\) là chiều cao của khối chóp \(S.ABCD\), \(h = SA = a\).

\( \Rightarrow V = \frac{1}{3} \cdot 2{a^2} \cdot a = \frac{2}{3}{a^3}\) (đvtt).

3. Sai. Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AC\).

Suy ra \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).

Xét tam giác \(SAC\) có: \(SA = a;AC = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 ,SC = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2}} = a\sqrt 6 \).

Ta có \(\sin \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{SC}} = \frac{a}{{a\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\).

4. Đúng. Vẽ đường thẳng \(d\) đi qua \(B\) và song song với \(AC\), khi đó \(d\) cắt \(AD\) tại \(E\).

\[ \Rightarrow AC{\rm{//}}\left( {SEB} \right)\].

Vậy \(d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {AC,\left( {SEB} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SEB} \right)} \right)\).

Kẻ đường cao \(AI\) của tam giác \(EAB\), kẻ đường cao \(AH\) của tam giác \(SAI\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EB \bot AI\\EB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow EB \bot \left( {SAI} \right)\)\( \Rightarrow EB \bot AH \Rightarrow AH \bot \left( {SEB} \right) \Rightarrow AH = d\left( {A,\left( {SEB} \right)} \right)\).

Xét tam giác \(AEB\) vuông tại \(A\) có \(AE = BC = 2a;AB = a\).

\(AI\) là đường cao của tam giác \(AEB\) nên \(\frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AI = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

Xét tam giác \(AIS\) vuông tại \(A\) có: \(AI = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5};SA = a\).

\(AH\) là đường cao của tam giác \(AIS\) nên

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{I^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{AI \cdot SA}}{{\sqrt {A{I^2} + S{A^2}} }} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 5 }}{5} \cdot a}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a}}{3}\).

Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(AC\) và \(SB\) là \(\frac{{2a}}{3}\).

Cách khác: Gán hệ trục tọa độ \(Oxyz\) vào khối chóp \(S.ABCD\) sao cho \(A\) là gốc tọa độ, điểm \(B\) thuộc tia \(Ox\), điểm \(D\) thuộc tia \(Oy\), điểm \(S\) thuộc tia \(Oz\).

Khi đó \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {a;0;0} \right),D\left( {0;2a;0} \right),S\left( {0;0;a} \right),C\left( {a;2a;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {a;2a;0} \right),\,\,\overrightarrow {SB} = \left( {a;0; - a} \right)\);

\(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( { - 2{a^2};{a^2}; - 2{a^2}} \right),\,\,\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SB} } \right]} \right| = 3{a^2}\);

\(\overrightarrow {AS} = \left( {0;0;a} \right),\,\,\overrightarrow {AS} \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SB} } \right] = - 2{a^3}\).

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(AC\) và \(SB\) là \(d\left( {AC,SB} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AS} \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SB} } \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SB} } \right]} \right|}} = \frac{{2a}}{3}\).