Chi đoàn \(X\) dự định dựng một lều trại dã ngoại hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh bên \(SB = 5\), cạnh đáy \(CD = 3\sqrt 2 \). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ (với \(O\) là tâm của đáy, \(S\) nằm trên trục \(Oz\)).

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Đáp án: 3,67.

Chọn hệ trục Oxy tâm \(O\). Hình vuông có cạnh bằng \(2\) nên \({S_{{\rm{vu\^o ng}}}} = 4\). Đường tròn có bán kính \(R = 2\) nên \({S_{{\rm{tr\`o n}}}} = 4\pi \).

Ta xét hình phẳng trong góc phần tám thứ nhất ứng với góc quay \(t \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\) (so với trục Ox). Do tính đối xứng, diện tích toàn phần gấp 8 lần diện tích phần này.

Bản chất tích phân tính diện tích là tổng các diện tích vi phân hình quạt (tam giác vô cùng nhỏ) với \(dS = \frac{1}{2}{r^2}dt\).

Trên tia Ot, vì \(P\) là trung điểm MN nên ta có độ dài:

\(OP = \frac{{OM + ON}}{2} \Rightarrow O{P^2} = \frac{1}{4}O{M^2} + \frac{1}{4}O{N^2} + \frac{1}{2}OM.ON\)

Lấy tích phân hai vế theo dt từ \(0\) đến \(\frac{\pi }{4}\), rồi nhân \(8\) (cho cả \(2\pi \)), ta thu được diện tích hình phẳng bên trong đường cong \((L)\):

\({S_{(L)}} = \frac{1}{4}{S_{{\rm{vu\^o ng}}}} + \frac{1}{4}{S_{{\rm{tr\`o n}}}} + \frac{8}{2}\int_0^{\frac{\pi }{4}} O M.ONdt\)

Với \(t \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\), điểm \(M\) nằm trên cạnh dọc \(x = 1\) nên \(\cos t = \frac{1}{{OM}} \Rightarrow OM = \frac{1}{{\cos t}}\). Điểm \(N\) nằm trên đường tròn bán kính \(R = 2\) nên \(ON = 2\).

Tích phân thành phần:

\(I = 4\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{2}{{\cos t}}} dt = 8\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos t}}{{1 - {{\sin }^2}t}}} dt = 4\ln \left| {\frac{{1 + \sin t}}{{1 - \sin t}}} \right||_0^{\frac{\pi }{4}} = 4\ln {(\sqrt 2  + 1)^2} = 8\ln (\sqrt 2  + 1)\)

Thay các giá trị vào, ta có diện tích toàn phần của \((L)\):

\({S_{(L)}} = \frac{1}{4}(4) + \frac{1}{4}(4\pi ) + 8\ln (\sqrt 2  + 1) = 1 + \pi  + 8\ln (\sqrt 2  + 1)\)

Thực hiện chuẩn phép tính, ta được diện tích phần hình cong \((L)\):

\({S_{(L)}} = 1 + \pi  + 4\ln (\sqrt 2  + 1)\)

Phần diện tích mạ vàng nằm giữa \((L)\) và hình vuông là:

\(S = {S_{(L)}} - {S_{{\rm{vu\^o ng}}}} = 1 + \pi  + 4\ln (\sqrt 2  + 1) - 4 = \pi  + 4\ln (\sqrt 2  + 1) - 3 \approx 3,67{\rm{ }}(d{m^2})\)

Cách khác:

Chọn hệ trục Oxy tâm \(O\).

Phần ngoài của mặt đồng hồ là đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 4\)

Gọi \({S_{\left( H \right)}}\) là diện tích phần hình phẳng \(\left( H \right)\)được giới hạn bởi đồ thị các đường \(d:y = x\); \((L)\); trục hoành; \(x = 1\) (\(1 \le x \le 1,5\)).

Gọi \(S\) là phần diện tích cần tìm. Ta có \(S = 8.{S_{\left( H \right)}}\).

Phương trình đường thẳng biểu diễn tia OM trên miền \(\left( H \right)\) là \(y = tx\) (\(0 \le t \le 1\) và \(1 \le x \le 1,5\))

Ta có N là giao điểm của tia OM và \(\left( C \right)\) nên \({x_N} = \frac{2}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}\;;\;{y_N} = \frac{{2t}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}\)

Tọa độ điểm M là \(M\left( {1;t} \right)\) và tọa độ điểm P là \({x_P} = \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{2}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}} \right)\;;\;{y_P} = \frac{1}{2}\left( {t + \frac{{2t}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}} \right)\).

Ta có \(0 \le t \le 1\) suy ra \(\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2} \le {x_P} \le 1,5\)

Do \(t = \frac{{{y_P}}}{{{x_P}}}\) nên \({x_P} = \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{2}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{{y_P}}}{{{x_P}}}} \right)}^2}} }}} \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x_P}^2 + {y_P}^2}  = \frac{{2{x_P}}}{{2{x_P} - 1}} \Leftrightarrow {y_P} = \sqrt {\frac{{4{x_P}^2}}{{{{\left( {2{x_P} - 1} \right)}^2}}} - {x_p}^2} \)

Phương trình đường cong \((L)\)trên miền \(\left( H \right)\)là \(\left( L \right):y = \sqrt {\frac{{4{x^2}}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} - {x^2}} \) (\(\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2} \le x \le 1,5\))

Diện tích cần tìm: \(S = 8\left( {\int\limits_1^{\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}} {x\;dx}  + \int\limits_{\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}}^{1,5} {\sqrt {\frac{{4{x^2}}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} - {x^2}} \;dx} } \right) \approx 3,67\left( {d{m^2}} \right)\).

Đáp án: 3,79

Bán kính \[{I_1}{A^2} = 11 = {r_1}^2\]

Vì mỗi đường tròn là giao của mặt cầu với một mặt phẳng nên

\[O{I_1} \bot \left( {AB{I_1}} \right),O{I_2} \bot \left( {AB{I_2}} \right)\]

\[\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {5;2;1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 2;5} \right) \Rightarrow O\left( {\frac{8}{3};\frac{5}{3};\frac{{ - 2}}{3}} \right) \Rightarrow O{I_1}^2 = {\left( {\frac{5}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{{10}}{3}\]\[ \Rightarrow R = \sqrt {\frac{{10}}{3} + 11}  \approx 3,79\].