Một công ty tổ chức sự kiện tổng kết cuối năm. Trong buổi dự tiệc có 4320 người tham gia. Để làm tăng tính thú vị hấp dẫn của buổi tiệc, người ta đã tạo ra các lá thăm ghi các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \) được lập từ các chữ số \[0\]; \[1\]; \[2\]; \[3\]; 4; \[5\]; \[6\]. Mỗi người tham gia dự tiệc sẽ chọn cho mình một lá thăm và tất cả các lá thăm được bốc hết. Gần cuối buổi tiệc, ban tổ chức công bố những người chọn được số thỏa mãn điều kiện \({a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6}\) sẽ được nhận phần thưởng đặc biệt từ công ty. Anh Huy là nhân viên công ty có tham gia dự tiệc và bốc thăm trúng thưởng. Hỏi anh Huy có xác suất trúng thưởng là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 800.

Ta có \(Q = 5000 - \frac{P}{3} \Leftrightarrow P = 15000 - 3Q\). Khi đó, lợi nhuận của doanh nghiệp đó là

\[L\left( Q \right) = Q \cdot P - C\left( Q \right) - Q \cdot t\]

\(L\left( Q \right) =  - 4{Q^2} + \left( {12800 - t} \right)Q - 500\)

Gọi \({Q_0}\) là số sản phẩm cần sản xuất để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất, khi đó

\({Q_0} = \frac{{12800 - t}}{8} \Leftrightarrow t = 12800 - 8{Q_0}\)

Số tiền thuế thu được là

\(T = {Q_0} \cdot t = {Q_0}\left( {12800 - 8{Q_0}} \right) =  - 8Q_0^2 + 12800{Q_0}\)

Để số tiền thuế thu được lớn nhất thì \({Q_0} = \frac{{12800}}{{16}} = 800\) (sản phẩm).

Chọn a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng.

a) Sai.

Vận tốc ban đầu của vận động viên đua xe đạp là \({v_2}\left( 0 \right) = 12 - 12{e^0} = 0\)m/s.

b) Đúng.

Ta có: \({v'_1}\left( t \right) =  - 0,1 \cdot 8{e^{ - 0,1t}} < 0,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,\,60} \right].\) Suy ra tốc độ vận động viên điền kinh giảm dần theo thời gian.

Ta có: \({v'_2}\left( t \right) =  - 0,1 \cdot \left( { - 12} \right){e^{ - 0,1t}} = 1,2{e^{ - 0,1t}} > 0,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,\,60} \right].\) Suy ra tốc độ của vận động viên đua xe đạp tăng dần theo thời gian.

c) Sai.

Khoảng cách giữa hai người là \(s\left( t \right) = 40 + \int\limits_0^t {\left[ {{v_2}\left( t \right) - {v_1}\left( t \right)} \right]} dt\).

Ta có \(s'\left( t \right) = {v_2}\left( t \right) - {v_1}\left( t \right)\,;\,\,s'\left( t \right) = 0 \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = {v_1}\left( t \right)\).

Giải phương trình này, ta có: \(12 - 12{e^{ - 0,1t}} = 8{e^{ - 0,1t}}\) \( \Leftrightarrow 12 = 20{e^{ - 0,1t}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{12}}{{20}} = {e^{ - 0,1t}}\) \( \Leftrightarrow {\rm{ln}}\frac{{12}}{{20}} =  - 0,1t\) \( \Leftrightarrow t = \frac{{{\rm{ln}}\frac{{12}}{{20}}}}{{ - 0,1}} \approx 5,1\,\,\,\left( s \right)\).

Bảng biến thiên:

Vậy hai người ở gần nhau nhất khi cuộc đua diễn ra khoảng \(5,1\)giây kể từ lúc bắt đầu.

d) Đúng.

Từ bảng biến thiên, ta thấy khoảng cách ngắn nhất giữa hai người là \(21,3m\); kể từ thời điềm gần nhất đó, vận động viên điền kinh dần bị bỏ lại phía sau và người này không thể bắt kịp được vận động viên dua xe đạp nữa.