Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 16\). Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Đáp án: 130.

Thời gian di chuyển của một chuyến đi với khoảng cách 60 km là: \(t = \frac{{60}}{v}\) (giờ).

Theo quy định, thời gian di chuyển không vượt quá 1 giờ 30 phút (1,5 giờ), do đó ta có bất phương trình: \(\frac{{60}}{v} \le 1,5 \Leftrightarrow v \ge 40\).

Tàu chạy không quá \(55\,{\rm{km/h}}\): \(v \le 55\).

Kết hợp lại, tập xác định của \(v\) là: \(v \in \left[ {40\,;\,55} \right]\).

Chi phí vận hành trong 1 giờ là: \(100{v^3} + 4000000\) (đồng).

Tổng chi phí vận hành cho một chuyến đi là hàm số \(f\left( v \right)\), được tính bằng chi phí 1 giờ nhân với thời gian di chuyển: \(f\left( v \right) = \left( {100{v^3} + 4{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000} \right)\,.\,\frac{{60}}{v} = 6000{v^2} + \frac{{240{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000}}{v}\).

Ta có: \(f'\left( v \right) = 12000v - \frac{{240{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000}}{{{v^2}}} = \frac{{12000{v^3} - 240{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000}}{{{v^2}}}\).

Cho \(f'\left( v \right) = 0\)\( \Rightarrow \)\(12000{v^3} - 240{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000 = 0\)\( \Leftrightarrow {v^3} = 20000\)\( \Leftrightarrow v = \sqrt[3]{{20000}} \approx 27,14\).

Ta có bảng biến thiên:

\( \Rightarrow \) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ {40\,;\,55} \right]\] đạt được tại \(v = 40\).

\( \Rightarrow \) Tổng chi phí thấp nhất là: \(\min f\left( v \right) = 15{\mkern 1mu} 600{\mkern 1mu} 000\)(đồng).

Lợi nhuận mục tiêu \(\left( {25\% } \right)\) là: \(0,25\,.\,15{\mkern 1mu} 600{\mkern 1mu} 000 = 3{\mkern 1mu} 900{\mkern 1mu} 000\)

Tổng doanh thu cần đạt được là: \(15{\mkern 1mu} 600{\mkern 1mu} 000 + 3{\mkern 1mu} 900{\mkern 1mu} 000 = 19{\mkern 1mu} 500{\mkern 1mu} 000\) (đồng).

Giá vé mỗi hành khách phải trả cho 150 khách là: \(\frac{{19{\mkern 1mu} 500{\mkern 1mu} 000}}{{150}} = 130{\mkern 1mu} 000\) (đồng)

Giá vé mỗi hành khách phải trả là 130 nghìn đồng.

Đáp án: \[0,4\].

Hoành độ \({x_0}\) thoả đẳng thức \(4 - 0,2{x_0} = 0,4 + 0,1{x_0} + \frac{1}{m}x_0^2\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{m} = \frac{{3,6 - 0,3{x_0}}}{{x_0^2}}\;\left( {{x_0} < 12} \right)\).

Theo đề, \({S_{xs}} = \int\limits_0^{{x_0}} {\left( {{y_0} - \left( {0,4 + 0,1x + \frac{1}{m}{x^2}} \right)} \right)dx}  = \int\limits_0^{{x_0}} {\left( {3,6 - 0,2{x_0} - 0,1x - \frac{{3,6 - 0,3{x_0}}}{{x_0^2}}{x^2}} \right)dx}  = 4,2\).

\( \Leftrightarrow \left( {3,6 - 0,2{x_0}} \right){x_0} - 0,05x_0^2 - \frac{{3,6 - 0,3{x_0}}}{{3x_0^2}}x_0^3 = 4,2\)\( \Leftrightarrow 0,15x_0^2 - 2,4{x_0} + 4,2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 14\;\left( l \right)\\{x_0} = 2\;\left( n \right)\end{array} \right.\).

Với \({x_0} = 2\) suy ra \({y_0} = 3,6\) và \({S_{td}} = \int\limits_0^2 {\left( {4 - 0,2x - 3,6} \right)dx}  = \int\limits_0^2 {\left( {0,4 - 0,2x} \right)dx}  = 0,4\).