PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong hóa học động học, đối với một phản ứng hóa học nối tiếp, nồng độ của chất trung gian sinh ra sẽ tăng lên đến một đỉnh điểm rồi giảm dần do bị chuyển hóa thành chất khác. Dựa trên dữ liệu thực nghiệm, sự thay đổi nồng độ của một chất trung gian trong bình phản ứng được mô phỏng bởi hàm số: \(C\left( t \right) =  - 2{t^3} + 3{t^2} + 12t.\) Trong đó, \(C\left( t \right)\) là nồng độ chất trung gian (đơn vị: mmol/L) và \(t\) là thời gian (đơn vị: phút) tính từ thời điểm bắt đầu phản ứng. Biết rằng mô hình toán học này chỉ áp dụng trong \(3\) phút đầu tiên của phản ứng \(\left( {0 \le t \le 3} \right).\) Để thu hoạch được lượng chất trung gian nhiều nhất, hệ thống tự động cần trích xuất dung dịch ngay tại thời điểm nồng độ của nó đạt mức tối đa. Hỏi sau bao nhiêu phút kể từ khi bắt đầu phản ứng, nồng độ chất trung gian đạt giá trị lớn nhất?

Đáp án: 130.

Thời gian di chuyển của một chuyến đi với khoảng cách 60 km là: \(t = \frac{{60}}{v}\) (giờ).

Theo quy định, thời gian di chuyển không vượt quá 1 giờ 30 phút (1,5 giờ), do đó ta có bất phương trình: \(\frac{{60}}{v} \le 1,5 \Leftrightarrow v \ge 40\).

Tàu chạy không quá \(55\,{\rm{km/h}}\): \(v \le 55\).

Kết hợp lại, tập xác định của \(v\) là: \(v \in \left[ {40\,;\,55} \right]\).

Chi phí vận hành trong 1 giờ là: \(100{v^3} + 4000000\) (đồng).

Tổng chi phí vận hành cho một chuyến đi là hàm số \(f\left( v \right)\), được tính bằng chi phí 1 giờ nhân với thời gian di chuyển: \(f\left( v \right) = \left( {100{v^3} + 4{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000} \right)\,.\,\frac{{60}}{v} = 6000{v^2} + \frac{{240{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000}}{v}\).

Ta có: \(f'\left( v \right) = 12000v - \frac{{240{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000}}{{{v^2}}} = \frac{{12000{v^3} - 240{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000}}{{{v^2}}}\).

Cho \(f'\left( v \right) = 0\)\( \Rightarrow \)\(12000{v^3} - 240{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000 = 0\)\( \Leftrightarrow {v^3} = 20000\)\( \Leftrightarrow v = \sqrt[3]{{20000}} \approx 27,14\).

Ta có bảng biến thiên:

\( \Rightarrow \) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ {40\,;\,55} \right]\] đạt được tại \(v = 40\).

\( \Rightarrow \) Tổng chi phí thấp nhất là: \(\min f\left( v \right) = 15{\mkern 1mu} 600{\mkern 1mu} 000\)(đồng).

Lợi nhuận mục tiêu \(\left( {25\% } \right)\) là: \(0,25\,.\,15{\mkern 1mu} 600{\mkern 1mu} 000 = 3{\mkern 1mu} 900{\mkern 1mu} 000\)

Tổng doanh thu cần đạt được là: \(15{\mkern 1mu} 600{\mkern 1mu} 000 + 3{\mkern 1mu} 900{\mkern 1mu} 000 = 19{\mkern 1mu} 500{\mkern 1mu} 000\) (đồng).

Giá vé mỗi hành khách phải trả cho 150 khách là: \(\frac{{19{\mkern 1mu} 500{\mkern 1mu} 000}}{{150}} = 130{\mkern 1mu} 000\) (đồng)

Giá vé mỗi hành khách phải trả là 130 nghìn đồng.

Đáp án: \[0,4\].

Hoành độ \({x_0}\) thoả đẳng thức \(4 - 0,2{x_0} = 0,4 + 0,1{x_0} + \frac{1}{m}x_0^2\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{m} = \frac{{3,6 - 0,3{x_0}}}{{x_0^2}}\;\left( {{x_0} < 12} \right)\).

Theo đề, \({S_{xs}} = \int\limits_0^{{x_0}} {\left( {{y_0} - \left( {0,4 + 0,1x + \frac{1}{m}{x^2}} \right)} \right)dx}  = \int\limits_0^{{x_0}} {\left( {3,6 - 0,2{x_0} - 0,1x - \frac{{3,6 - 0,3{x_0}}}{{x_0^2}}{x^2}} \right)dx}  = 4,2\).

\( \Leftrightarrow \left( {3,6 - 0,2{x_0}} \right){x_0} - 0,05x_0^2 - \frac{{3,6 - 0,3{x_0}}}{{3x_0^2}}x_0^3 = 4,2\)\( \Leftrightarrow 0,15x_0^2 - 2,4{x_0} + 4,2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 14\;\left( l \right)\\{x_0} = 2\;\left( n \right)\end{array} \right.\).

Với \({x_0} = 2\) suy ra \({y_0} = 3,6\) và \({S_{td}} = \int\limits_0^2 {\left( {4 - 0,2x - 3,6} \right)dx}  = \int\limits_0^2 {\left( {0,4 - 0,2x} \right)dx}  = 0,4\).