Một xưởng gia công cơ khí chính xác nhận hợp đồng sản xuất hai loại linh kiện là Trục thép (Loại A) và Bánh răng (Loại B). Để sản xuất một lô linh kiện loại A cần chạy máy Phay CNC trong 2 giờ và máy Tiện CNC trong 4 giờ. Để sản xuất một lô linh kiện loại B cần chạy máy Phay CNC trong 3 giờ và máy Tiện CNC trong 2 giờ. Do yêu cầu bảo trì, mỗi tuần máy Phay CNC chỉ hoạt động tối đa 120 giờ và máy Tiện CNC hoạt động tối đa 160 giờ. Biết mỗi lô linh kiện loại A cho lợi nhuận 3 triệu đồng, mỗi lô linh kiện loại B cho lợi nhuận 4 triệu đồng và xưởng luôn tiêu thụ hết số sản phẩm làm ra. Hỏi mỗi tuần xưởng cơ khí thu đươc lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng?

Đáp số: 6

Ta có: \[f'(t) = \frac{{ - 12000 \cdot ( - 11,5{e^{ - 0,5t}})}}{{{{(1 + 23{e^{ - 0,5t}})}^2}}} = \frac{{138000{e^{ - 0,5t}}}}{{{{(1 + 23{e^{ - 0,5t}})}^2}}}\].

Để tính tốc độ tăng trưởng người dùng của ứng dụng đạt giá trị lớn nhất ta xét:

\[\begin{array}{l}f''(t) = 138000 \cdot \frac{{ - 0,5{e^{ - 0,5t}}{{(1 + 23{e^{ - 0,5t}})}^2} - {e^{ - 0,5t}} \cdot 2(1 + 23{e^{ - 0,5t}})( - 11,5{e^{ - 0,5t}})}}{{{{(1 + 23{e^{ - 0,5t}})}^4}}} = 0\\ \Leftrightarrow  - 0,5{e^{ - 0,5t}}(1 + 23{e^{ - 0,5t}}) + 23{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow  - 0,5{e^{ - 0,5t}} - 11,5{e^{ - t}} + 23{e^{ - t}} = 0\\ \Leftrightarrow  - 0,5{e^{ - 0,5t}} + 11,5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow  - 1 + 23{e^{ - 0,5t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - 0,5t}} = \frac{1}{{23}} \Leftrightarrow t = \frac{{\ln (23)}}{{0,5}} \approx 6,271\end{array}\]

Làm tròn đến hàng đơn vị theo yêu cầu của đề bài: \[t \approx 6\].

Đáp án: \(66,9\)

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(O \equiv A\), điểm \(B\) thuộc tia \(Ox\), điểm \(D\) thuộc tia \(Oy\).

Ta có: \(I\left( {2;0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {A{M^2} + A{I^2}}  = \frac{5}{2}\).

Phương trình của đường tròn chứa cung \(MN\): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{{25}}{4}\)\( \Rightarrow {y^2} = \frac{{25}}{4} - {\left( {x - 2} \right)^2}\).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(N\left( {4;1;5} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IN} \) là VTPT: \(y =  - \frac{4}{3}x + \frac{{41}}{6}\).

Giả sử phương trình của cung parabol \(NP\): \(y = a{x^2} + bx + c\).

Parabol đi qua hai điểm \(N\left( {4;1;5} \right),P\left( {5;1,5} \right)\) và \(y'\left( 4 \right) =  - \frac{4}{3}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}16a + 4b + c = 1,5\\25a + 5b + c = 1,5\\8a + b =  - \frac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{4}{3}\\b =  - 12\\c = \frac{{169}}{6}\end{array} \right.\).

Thể tích của bình là: \(V = \pi \int\limits_0^4 {\left[ {\frac{{25}}{4} - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x}  + \pi \int\limits_4^5 {{{\left( {\frac{4}{3}{x^2} - 12x + \frac{{169}}{6}} \right)}^2}{\rm{d}}x}  \approx 66,9\) (lít).