Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng \((P)\) chứa đường thẳng:
\(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\) và tạo với đường thẳng \(\Delta \): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 1 + t}\\{z = - 2}\end{array}} \right.\) một góc lớn nhất. Biết phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng \(ax + by + cz - 7 = 0\). Tính giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\).

Đáp số: 6

Ta có: \[f'(t) = \frac{{ - 12000 \cdot ( - 11,5{e^{ - 0,5t}})}}{{{{(1 + 23{e^{ - 0,5t}})}^2}}} = \frac{{138000{e^{ - 0,5t}}}}{{{{(1 + 23{e^{ - 0,5t}})}^2}}}\].

Để tính tốc độ tăng trưởng người dùng của ứng dụng đạt giá trị lớn nhất ta xét:

\[\begin{array}{l}f''(t) = 138000 \cdot \frac{{ - 0,5{e^{ - 0,5t}}{{(1 + 23{e^{ - 0,5t}})}^2} - {e^{ - 0,5t}} \cdot 2(1 + 23{e^{ - 0,5t}})( - 11,5{e^{ - 0,5t}})}}{{{{(1 + 23{e^{ - 0,5t}})}^4}}} = 0\\ \Leftrightarrow  - 0,5{e^{ - 0,5t}}(1 + 23{e^{ - 0,5t}}) + 23{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow  - 0,5{e^{ - 0,5t}} - 11,5{e^{ - t}} + 23{e^{ - t}} = 0\\ \Leftrightarrow  - 0,5{e^{ - 0,5t}} + 11,5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow  - 1 + 23{e^{ - 0,5t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - 0,5t}} = \frac{1}{{23}} \Leftrightarrow t = \frac{{\ln (23)}}{{0,5}} \approx 6,271\end{array}\]

Làm tròn đến hàng đơn vị theo yêu cầu của đề bài: \[t \approx 6\].

Đáp án: \(66,9\)

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(O \equiv A\), điểm \(B\) thuộc tia \(Ox\), điểm \(D\) thuộc tia \(Oy\).

Ta có: \(I\left( {2;0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {A{M^2} + A{I^2}}  = \frac{5}{2}\).

Phương trình của đường tròn chứa cung \(MN\): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{{25}}{4}\)\( \Rightarrow {y^2} = \frac{{25}}{4} - {\left( {x - 2} \right)^2}\).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(N\left( {4;1;5} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IN} \) là VTPT: \(y =  - \frac{4}{3}x + \frac{{41}}{6}\).

Giả sử phương trình của cung parabol \(NP\): \(y = a{x^2} + bx + c\).

Parabol đi qua hai điểm \(N\left( {4;1;5} \right),P\left( {5;1,5} \right)\) và \(y'\left( 4 \right) =  - \frac{4}{3}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}16a + 4b + c = 1,5\\25a + 5b + c = 1,5\\8a + b =  - \frac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{4}{3}\\b =  - 12\\c = \frac{{169}}{6}\end{array} \right.\).

Thể tích của bình là: \(V = \pi \int\limits_0^4 {\left[ {\frac{{25}}{4} - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x}  + \pi \int\limits_4^5 {{{\left( {\frac{4}{3}{x^2} - 12x + \frac{{169}}{6}} \right)}^2}{\rm{d}}x}  \approx 66,9\) (lít).